Note: This is a draft of the Latin original of a translation by Andrew Leahy. A paper explaining some of the modern interpretations of this work can be found here. Another paper specifically discussing the Fundamental Theorem of Calculus may be found in the online journal Convergence.
Obseruatum est a nostri seculi geometris mathematicam ab antiquis male fuisse divisam in geometriam, arithmeticam, & c, sed potius universalem & particularem: Matheseos pars universalis tractat de proportione in communi abstrahendo ab omni quantitatis specie, quae communiter (etiamsi fortassis abusive) geometria appellatur, cui affinis est recentiorum analytica: matheseos pars particularis dividitur; in geomettriam proprie sic dictam, quae nihil aliud est nisi matheseos pars universalis figurae restricta; in arithmeticam; quae eadem est mathesis universalis numero, et staticam, quae eadem est motui restricta, & c. ego (ni fallor) idem video in geometria: cum enim observarem generalissimos analyseos canones omni problemati inser vire, dummodo possibile sit illos applicare, & analysem nihil aliud esse nise examinationem quantitatum ignotarum, donec tandem reducantur ad aequationes cum quantitatibus cognitis; cogitabam analyseos defectum (quae praecipue apparet in mensuratione quantitatum curvarum) posse aliquatenus suppieri, si modo e data cuiuscunque figurae proprietate essentiali, daretur methodus eam transmutandi in aliam aequalem cognitas proprietates habentem, & huius in aliam, & sic deinceps, donec tandem transmutatio fiat in aliquam quantitatem cognitam; sic enim exhiberetur quantitatis propositae mensura quaesita, non secus quam in aequationis analyticae resolutione. Neque existimo meam opinonem esse frustratam, puto enim hunc tractatulum continere geometria partem adeo vniversalem, vt nullam respuat particularem figuram eorum generum, quae a geometris adhuc contemplata sunt; quod si alia figurarum genera contemplanda sibi proponant, promouenda est haec scientia; sicut enim figurarum genera sunt infinita, etiam haec geometriae pars, sicut omnis alia, infinita erit; nihilominus multo breuius & elegantius erit vniuersalem doctrinam unicuique particulari casui secundum figurae proprietates applicare, quam de vnaquaque figura integrum uolumen euulgare. Huius methodi studiosus ante omnia versatus esse debet in analyse, nam absque illa, cuius vis ingenii vires superat, propositae cuiuscunque figurae proprietates examinare.
Non diffiteor me legisse apud praestantes geometras multa talis methodi vestigia, sed plerumque vel particulariter vel parum geometrice demonstrata; quae med sunt & quae aliena iudicet lector, qui hunc tractatulum cum aliorum comparauerit, ego enim nihil affirmo, ne videar ea mihi adscribere quae ab alijs (me etiam inscio) antea reperta sunt. Demonstrandi methodo utor (ni fallor) mihi peculiari, quippe multo breuiore quam Archimedea & non minus geometrica; utor quoque in propositionibus magis ob viis methodo Caualleriana, quae etiam nullo negotio reducitur ad Archimedeam vel nostram. Quod si geometra, post diligentem huius methodi applicationem secundum figurae proprietates, nullum inueniat problematis exitum; recurrendum est ad seriem con vergentem, cuius terminatio sit ipsa figura incognita vel alia ad eam in ratione data; ob hanc enim rationem, conatus sum aliarum figurarum proportiones reducere ad proportionem inter figuras planas, in his enim existimo faciliorem esse serierum conuergentium doctrinam: non tamen audeo affirmare seriem conuergentem semper posse in veniri; suspicor enim hanc methodom esse insufficientem ad omnes proportiones non analyticas inveniendas: vtcunque nostrum tractatulum de vera circuli & hyperbolae quadratura volumus esse vltimum nostrae methodi refugium, nam serierum convergentium doctrina est generalis, quae e figurae proprietatibus semel inuenta solutionem possibilem exhibebit; & proinde obiectionibus contra nostram doctrinam hic satisfaciamus.
Primo obiicitur contra titulum, nempe tractatum meum male appellari veram circuli & hyperbolae quadraturam, cum potius sit conatus demonstrandi illam esse impossibilem; respondeo, si esset impossibilis, nulla daretur proportio inter circulum & diametri quadratum, & ideo falsa esset 5 definitio lib. 5. Euclidis; si autem sit possibilis, monstrandus est nostrae error, si nostra vera non sit. Alii sic obiiciunt: haec quadratura nulla est, quoniam non assignatur proportio inter circulum & diametri quadratum; huic obiectioni respondeo, posito circuli diametro b, erit ipse circulus terminatio series conuergentis, cuius primi termini sunt (fraction + square) & secundo (Fraction) ; & proinde quadratum diametri est ad circulum ut b(Squared) ad praedictam terminationem, quae terminationobis nullo modo est magis incognita quam radix surdesolida numeri 40. Dicunt alii non bene esse demonstratum (in scholio prop. 5.) sectorem ABIP eundem esse cum terminatione seriei conuergentis, cuius primi termini sunt triangulum ABP & trapezium ABFP, & secundi, rectilinea ABIP, ABDLP: & proinde plenam demonstrationem hic subiico: si sector & praedicta terminatio non sunt aequales, sit inter illas differentia Z; & producatur series conuergens donec termminorum conuergentium (nempe P & Q) differentia sit minor quam Z, euidens enim est (ex prop. 6.) hoc sieri posse; hisce positis, patet tam sectorem quam seriei terminationem consistere inter terminos P & Q; & proinde quatuor sunt quantitates, quarum maxima & minima sunt P & Q, intermediae autem sector & terminatio seriei, eritque differentia intermediarum nempe Z maior quam differentia extremarum, quod est absurdum, nulla ergo est differentia inter sectorem & seriei terminationem, & proinde aequales sunt, quod demonstrandum erat. Alii obiiciunt contra prop. 11. ita; si addatur a3 termino a3 + (squared) & termino (squared) , eneruetur vis utriusque demonstrationis, respondo a3 esse quantitatem indefinitam & alias quantitates indefinitas praeter ipsos terminos conuergentes compositionem non posse ingredi, quod analystam latere non potest. Obiiciunt alii: hac eadem methodo potest demonstrari inter duas quantitates indefinite commensurabiles P, Q, non posse inveniri mediam proportionalem illis commensurabilem, quod tamen est falsum si P, Q, sint planosimiles; respondeo maximam esse descrepantiam inter radicum extractionem & sextam illam operationem, nam in radicum extractione, cum divisor dividendum metitur, quod in praedicto casu euenit, radicis extractio coincidit cum quatuor operationibus prioribus, sexta autem operatio, cum ex natura sua sit infinita, cum prioribus nunquam coincidit. Obiicit quidam non vulgaris geometra circuli quadraturam ope quadraticis peractam esse operationibus analyticis; quod onnino nego desiderando ab affirmante, vt illas operationes anaylticas assignet, ego enim existimo basem quadraticis non esse magis assignabilem ab operationibus analyticis, quam radicem quadratam binarij a primis quatuor operationibus arithmeticis.
Solutis obiectionibus quae contra nostram doctrinam vel abaliis afferuntur vel a me imaginari possunt, satisfaciamus etiam illis, qui operationibus organicis delectantur. Si quis velit organice circulum quadrare vel angulum in ratione datae dividere; non existimo ullum modum esse simpliciorem quam vulgaris linea quadratix in materia aliqua solidae & plana accurate & punctatim descripta. Quod ad quadraturam hyperbolae attinet, existimo satis facile esse trianguli, seu trapezij inscripti (sunt enim inter se aequalia) ad triangulum circumscriptum rationem in rectis exhibere, & ab illis rectis seriem debitam conuergentem continuare, donec conueniens fuerit approximationem adhibere. Omnia quae desiderari possunt de logorithmis & rationum compositione ope sequentis curvae nullo negotio inveniri possunt.
Sit linea recta DE, sitque alia recta illi normaliter insistens AB, in qua sit punctum mobile C, quod punctum C moueatur ea ratione, vt, dum perpendicularis mouetur versus E vel D normaliter semper insistens rectae ED, interceptae inter punctum C & rectam DE sint ad ipsam CB in rationibus inter se multiplicatis in ratione motus rectae perpendicularis AB: e.g. moueatur AB in KM & NP; oportet ut punctum C moueatur ea lege, vt ratio CP ad CB sit multiplicata rationis CM ad CB in ratione PB ad MB: eodem modo ad partes D, supposito AB moueri in IG & LO, vt punctum C ea lege moueatur, ut ratio CO ad CB sit multiplicata rationis CG ad CB in ratione OB ad GB: atque e recta D; & duobus punctis curvae quasitae a motu puncti C descriptae ad libitum datis, facile est curvam ipsam punctatim describre, e.g. supposito curvam in rectis AB, KM, transire per punctum C, oportet alia huius curvae puncta invenire: ditidatur BM bifariam H, sitque perpendicularis HC mean proportionalis inter BC, MC; dico C esse vnum ex punctis quaesitis, est enim ratio CM ad CB duplicata rationis CH ad CB, & recta MB est dupla rectae BH, est igitur C in curva quaesita. Deinde sit recta SM aequalis rectae MB, & ut CB ad CM ita CM ad perpendicularem CS, ut prius demonstratur C esse punctum curvae quaesitae, atque hac ratione possunt inveniri puncta quotlibet, & curva quantumlibet produci. Notandae sunt quaedam huius curvae proprietates eximiae, quae nullo
negotio deprehenduntur; prima est, quod ex vtraque parte possit produci in infinitum, secunda, quod ex vna parte nempe F, licet rectam ED semper magis appropinquet, nunquam tamen cum illa concurrat, efficiens spatium ex parte FD finitum in quantitate etiamsi infinitum in longitudine; tertia, quod, posita vna perpendicularium seu ordinatim applicatarum loco vnitatis, & reliquis loco numerorum, intercepta recta in DE seu curvae asymptota inter vnitatem & numerum semper sit logorithmus numeri, e.g. posita CO vnitate & CG binario, item CB ternario CH quaternario, & c; erit OG logorithmus binarii OB ternarij, OH quaternarij, & c. Si describatur hac curva exacte in plano solido, non solum eius ope cum regula & circino invenientur inter datas duas rectas quotcunque mediae proportionales, sed omnia problemata imaginabilia de rationum compositionem etiam facile perfici possunt sed haec, quoniam facilia sunt, consulto omitto, lectorem interim admonens spatium, contentum portione praedictae curvae, sua asymptota & duabus ordinatim applicatis, ? habere rationem analyticam ad rectangulum illi inscriptum sicut demonstrari posset secundum tenorem prop. 11. praedictae tractatuli.
Hae operationes non existimari debent ageometricae, quoniam sola ope regulae & circini non perficiuntur, sicut optime obseruat subtilissimus Mathematicus D. Carolus Ronaldinius in geometra suo promoto, dum tractat de nouis illis lineis, quas Mediceas appellat; quod ut clarius fiat hic conabor ostendere nullam vel aequationem cubicam per resolvi ope solius regulae & circini: omnis aequatio cubice habet vel vnam solam vel vnam tres radices reales, quae si inuenirenter ope solius regulae 8 circini, sue intersectione circuli & linea rectae, linea recta circulum secaret vel in ut solo puncto vel in tribus, quod utrumque est absurdissmum: ab similem etiam rationem, aequatio cubica tres habens radies reales nunquam potest reduci ad puram, quae unicam tantum habet: nam in his aequationis reductio nullo modo proficiet, cum impossibile sit eius ope radicem imaginariam in realem mutare vel e contra.
Sit curva quae cunque KB simplex & non sinuosa, hoc est a K ad B, rectam quandam positione datam MP semper appropinquams, vel semper ab illa recedens. Sit (in prima figura) punctum in curva KB rectae MP maxime propinquum, K ex duobus quibuscunque punctis curvae KB, nempe C, B, demittantur perpendicularis CO, BP, in rectam MP, & a puncto curvae C, vt pote puncto K proximiore ducatur recta CA curvam tangens in C, & PB productae occurrens in A. Dico rectam CA majorem esse curva CB curvam tangens in B, & rectae CA occurrens in R, & OC productae in D, ducatur recta BRD. Quoniam in progressu a K ad B, curva KB semper magis elongatur a recta PM, igitur recta BD curvam tangens in puncto B, & vergens versus K e contra tendit ad concursum cum rectum recta PM, & ideo angulus ABR est obtusus, superans nempe MPB illo angulo, in quo cum PM producta concurrit, est igitur angulus ABR major angulo RAB, & latus AR maius latere BR, & commune addendo, recta AC maiore est rectis BR, RC. Sed BR, RC, curvam tangentes in punctis B, C, sunt maiores arcu BC; & ideo AC recta eodem arcu CB est multo maior, quod demonstrare opportuit.
Secundo dico BD rectam minorem esse curva BC ex hactenus demonstratis, angulus ABD est obtusus; & proinde etiam, ob parallellas AP, DO, illi aequalis CDB; & ideo ducto subtendente CB, angulus BDC maior est angulo BCD, & recta DB minor recta BC, sed recta BC minor est curva BC, & ideo recta BD multo minor est curva BC ex punctis extremis K, B, in
rectam MP demittantur perpendiculares KM, BP; deinde dividatur recta MP in partes quotcunque aequales MN, NO, OP, & a punctis P, O, N, M, erigantur perpendiculares PA, OE, NH, ML, curvam secantes in punctis B, C, F, K, in quibus singulis ducantur rectae curvam tangentes versus B a perpendicularibus proximis terminatae, nempe KH, FE, CA, & in puncto B sit tangens BD a perpendiculari proxima versus K terminata in D, sitque rectae BD parallella KI: manifestum est KH maiorem esse recta KI ob angulum HIK obtusum aequalem angulo ABD.
Dico omnes rectas KH, FE, CA, simul maiores esse curva KB & excessum rectae HK supra rectam KI maiorem esse excessu omnium rectarum KH, FE, CA, simul supra curvam KB. Producantur tangentes AC, EF, ad proximas perpendiculares versus K in G & L. Ex primo proposito, AC est maiore curva BC, EF maior curva FC, & HK maior curva KF; & ideo omnes simul KH, FE, CA, sunt maiores integra curva KB: deinde ex secundo proposito BD, hoc est, KI minor est curva BC; & CG, hoc est, CA minor est arcu FC; & LF, hoc est, FE minor est arcu KF; & ideo omnes KI, FE, CA, simul sunt minores integra curva KB; & ideo maior est excessus rectarum KH, FE, CA, supra rectas KI, FE, CA, quam supra curvam KB; sed rectae FE, CA, sunt communes utrique rectarum summae; & ideo excessus rectae KH supra rectam KI est aequalis excessui summae rectarum KH, FE, CA, supra summam rectarum KI, FE, CA; qui demonstratus est maior excessu rectarum KH, FE, CA, supra curvam KB, quod demonstrandum erat. Si vera curva fuerit convexa ad rectam MP, vt in secunda figura, K debet esse punctum curvae a recta MP maxime remotum, & aliquot demonstrationum verba sunt mutanda, sicut per se intelliget in dustrius Lector.
Sit curva quaecunque 79CD simplex, seu non sinuosa (si enim fuerit sinuosa, oportet illam in plures simplices dividere) super qua imaginetur superficies cylindrici recti, cuius altitudo recta X, a puncto quolibet curvae nempe 9 in quamlibet rectam nempe 26 demittatur recta perpendiculares 93. & ducatur in eandem 26 recta 96 curvam perpendiculariter secans in puncto 9. Producatur rectae 39 in S, ut 3S fiat aequalis rectae 96, idem quoque supponatur fieri in omnibus punctis curvae 79CD, ita vt ex rectis in curvam perpendicularibus per propria sua curvae puncta ad rectam 26 normaliter protractis constetur spatium RV ccc 2 a curva RSTV & rectis R2, V ccc, ccc 2, comprehensum. Deinde fiat ut 93 ad S3 ita X altitudo cylindrici ad 3N; idem fieri supponimus in omnibus aliis rectis spatii RV ccc 2 rectae 2 ccc perpendicularibus, ut compleatur spatium PH ccc 2 comprehensum a curva PH & rectis Hccc, P2, 2ccc: hoc est intelligo duo mixtilinea esse descripta, quorum primi haec est proprietas, ut ex eius curvae puncto quocunque S in rectam 26 demissa perpendicularis S3 sit aequalis perpendiculari ad curvam 79CD in puncto transitus 9 nempe 96. Secundi vero haec sit proprietas, vt ex eius curvae puncto quocunque N in rectam 26 demissa perpendicularis N3 sit ad altitudinem cylindrici X, vt eius pars intercepta in primo mixtilineo S3 ad eius partem a curva data 93. Dico mixtilineum secundum PHccc2 esse aequale superficiei cylindrici recti, cuius basis est curva data 79CD, & altitudo recta X. Si mixtilineum PHccc2 non est aequale superficiei cylindrici praedicti, inter illas erit aliqua differentia, quae sit a planum: applicetur a planum ad rectam X, sitque latitudo inde oriens aba. Ducatur ex puncto 7 recta 7A curvam 7D tangens in puncto 7, & ex puncto D ducatur recta Deee curvam tangens in puncto D, sitque rectae Deee parallella 7fff, & ex punctis 7, D, in rectam 26 demittantur perpendiculares 72, cccD; dividaturque recta 2ccc in tot partes aequales, ut ab extremitate earum primae erecta perpendiculari 3A, excessus tangentis abscissae 7A supra parallellam abscissam 7fff sit minor recta aba, hoc enim semper fieri posse manifestum est, si tangens 7A non sit perpendicularis rectae 2ccc, nec curva data sinuosa. A divisionum punctis 2, 3, 4, ccc, excitentur perpendiculares 2P, 3N, 4L, cccH, curvam datam secantes in punctis 7, 9, C, D; curvam primam inventam secantes in punctis R, S, T, V, & secundam in punctis P, N, L, H; deinde curvam datam tangentes in punctis 7, 9, C, D, ducantur rectae 7A, 9B, CF, Deee, a proximis perpendicularibus terminatae, sintque rectae 78, 90, CE, D5, YP, NK, LG, HI, LM, NQ, ipsis partibus aequalibus aequales & parallellae, a perpendicularibus proximis terminatae. Angulus B96 est rectus ob 9B tangentem, & illi perpendicularem 96; angulus quoque O93 est rectus, & ideo communem angulum O96 auferendo, relinquitur angulus O9B aequalis angulo 693; triangula igitur rectangula O9B, 693, sunt similia, & proinde ut 93 ad 96 ita 9O ad 9B, sed ut 93 ad 96 ita X ad 3N; & ideo ut 9O ad 9B ita X ad 3N; & igitur rectangulum 9O in 3N nempe rectangulum N4 est aequale rectangulo 9B in X: eodem modo demonstratur rectangulum P3 esse aequale rectangulum 7A in X, item rectangulum Lccc ese aequale rectangulo CF in X; & ideo rectangulum rectae X in rectas 7A, 9B, CF, simul, est aequale toti rectilineo 2PYNKLG ccc; est ergo rectangulum X in rectas 7A, 9B, CF, simul, maior mixtilineo PNLH ccc 2. Curvae in puncto D fiat normalis D gag, & ideo rectus est angulos gag D eee, sed rectus quoque est angulus ccc D5, & proinde commune auferendo nempe ccc D eee, relinquuntur anguli aequales ccc D gag, eee D5: sunt ergo triangula rectangula ccc D gag, eee D5, similia; & ideo ut cccD ad Dgag, hoc est D5 ad Deee ita X ad cccH, & ideo rectangulum ccc H in D5, hoc est rectangulum H4, aequale est rectangulo X in D eee, hoc est, X in 7 fff; sed rectangulum M4 est aequale rectangulo Lccc, hoc est rectangulo X in CF; & rectangulum Q3 est aequale rectangulo N4, hoc est rectangulo X in 9B; & igitur rectilineum QNMLIHccc2 est aequale rectangulo X in rectas FC, B9, fff 7, simul; est ergo rectangulum X in rectas FC, B9, fff 7, simul minor mixtilineo PNLH ccc 2. Porro rectae FC, B9, A7, simul, sunt maiores curva 79CD, & rectae FC, B9, fff 7, simul sunt eadem curva minores, quod utrumq; patet ex antecedente; & igitur rectangulum X in rectas FC, B9, A7, maius est cylindrica superficie super curva 79CD, & rectangulum X in rectas FC, B9, fff 7, eadem superficie minus: sed demonstratum est rectangulum X in rectas FC, B9, A7, maius esse mixtilineo PNLH ccc 2, & rectangulum X in rectas FC, B9, fff 7, eodem mixtilineo esse minus, & proinde maior est differentia
inter haec rectangula, quam inter superficiem cylindricam & mixtilineum; sed rectangulorum differentia est rectangulum X in differentiam rectarum 7A, 7fff; est autem differentia rectarum 7A, 7fff, minor recta aba ex suppositione; & ideo differentia inter rectangula X in FC, B9, A7, simul, & X in FC, B9, fff7, simul, minor est quantitate a, nempe facto ab X in aba, hoc est ex positione, differentia inter superficiem cylindricam & mixtilineum, quod est absurdum, ostensa enim est maior, superficies igitur cylindrica & mixtilineum sunt aequalia, quod demonstrandum erat.
Quod si curva 7D non fuerit simplex sed sinuosa, dividenda est in plures simplices, & demonstratio in vnaquaque seorsim instituenda.
Si vero tangens 7A fuerit perpendicularis ad rectam 78, mixtilineum PNLH ccc 2 extendetur in infinitum ad partes P: hoc tamen non obstante 3 dico adhuc mixtilineum PNLH ccc 2 aequale esse superficiei cylindrici recti super curva 79CD, cuius altitudo X. Si non sunt aequalia, sit (si fieri potest) mixtilineum maius superficie, & recta N3 rectae H ccc parallella abscindatur mixtilineum NLH ccc 3 aequale superficiei super curva 79CD, h oc enim absque dubio fieri potest: eodemque modo, quo ante, demonstratur mixtilineum NLH ccc 3 aequale esse superficiei super 9cd; sunt ergo aequales, superficies cylindrici recti cuius altitudo X, super curvis 9CD, 79CD, quod est absurdum; mixtilineum ergo PNLH ccc 2 non est maius dicta superficie cylindrica: sit (si fieri potest) minus; & abscindatur 9D curva, ita ut superficies cylindrici recti super 9D existens, aequalis fiat mixtilineo PNLH ccc 2, & ducatur 39N rectae Hccc parallella: demonstratur ut ante superficiem cylindrici recti super 9D existentem, aequalem esse mixtilineo NLH ccc 3; sed ex suppositione eadem superficies cylindrici recti aequalis est mixtilineo PNLH ccc 2; mixtilinea ergo PNLH ccc 2, NLHccc3, sunt inter se aequalia, quod est absurdum; & ideo mixtilineum non est minus superficie, sed etiam demonstratum est, nec esse maius, superficies igitur cylindrici recti super curva 7D cuius altitudo est X aequalis est mixtilineo PNLHccc2, etiam quando tangente 7A recta 78 est perpendiculare, quod demonstrandum erat.
Ex demonstratione manifestum est mixtilineum PNLHccc2 & superficiem cylindricam super curva 79CD esse quantitates magnitudine & gravitate analogas, quoniam eadem aequalitas quae demonstratur de integris, eodem modo demonstratur de partibus earum proportionalibus; & ideo earum centra aequilibrii eodem modo dividunt rectam 2ccc; sed ipsa curva 7D est magnitudine & gravitate analoga cum superficie cylindrica; & ideo curva est etiam magnitudine & gravitate analoga cum mixtilineo idem cum reliquis centrum habens aequilibrii in recta 2ccc. Perspicuum quoque est mixtilineum PNLHccc2 esse ad rectangulum X in 2ccc, ut curva 79CD ad rectam 2ccc.
Eisdem positis quae prius; supponatur praedicta superficies cylindrici recti super curva 79DC secari a plano per rectam 2ccc transeunte, & in angulo semirecto ad planum D ccc 2 inclinante. Inferiorem superficiei cylindricae partem a plano sectam apellamus trunci superficiem. Dico trunci superficiem aequalem esse mixtilineo RSTV ccc 2. Supponatur extendi curva 79CD in rectam sibi aequalem zzz zyz yyy yzy, & iungatur recta yzy www aequalis rectae X, ut compleatur rectangulum xxx www yzy zzz, quod necessario aequale est tam superficiei cylindrici quam mixtilineo PNLHccc2. Sit zzz sss aequalis rectae 27, & a puncto sss ducatur curva sss ttt wzw zwz talis naturae, ut sumpta recta quacunque zzz zyz aequali curvae particulae cuicunque nempe 79, perpendicularis ad rectam zzz yzy ex puncto zyz in curvam sss zwz nempe zyz wxy, fiat aequalis perpendiculari ex puncto 9 in rectam 2ccc, nimirum 93: manifestum est mixtilineum sss ttt wzw zwz yzy zzz esse aequale superficie trunci, quoniam inclinatio plani secantis supponitur esse angulus semirectus: nostrum ergo est demonstrare aequalitatem mixtilineorum RSTV ccc 2, sss ttt wzw zwz yzy zzz: primo nos hanc aequalitatem demonstrabimus in postremis figuris, vbi supponimus curvam RV in progressu ab R ad V rectam 2ccc semper magis appropinquare, & etiam curvam 7D in progressu a 7 ad D ad eandem rectam magis appropinquare; & ideo curva sss zwz in progressu a sss ad zwz eo magis appropinquat rectam zzz yzy, quoniam eodem modo appropinquat curva sss zwz rectam zzz yzy, quo 7D rectam 2 ccc. Si praedicta mixtilinea non sunt aequalia, sit inter illa a differentia: & mixtilineum RVccc2 dividatur a tot rectis rectae R2 parallellis, nempe S3, T4, V ccc, R2, ut ab earum cum curva intersectionibus R, S, T, V, utrinque ductis ad parallelas proximas perpendicularibus Raaa, Srrr, S bbb, T0 T ggg, Vn, fiant duo rectilinea, nempe R aaa S bbb T ggg ccc 2 extra mixtilineum & rrr S 0 T n V ccc 2 intra mixtilineum, quorum differentia sit minor quam a, evidens enim est hoc fieri posse. Producantur rectae S3, T4, ut utrasque curvas PH, 7D, intersecent in punctis N, L, 9, C, & iungantur parallellae, rectae 2ccc, PY, NQ, NK, LM, LG, HI, a rectis mixtilineum dividentibus terminatae. Deinde dividatur rectangulum xxx yzy a rectis, rectae www yzy parallelis, xxx zzz, dzd zyz, pzp yyy, www yzy, in rectangulum xxx zyz aequale mixtilineo PN32, rectangulum dzd yyy aequale mixtilineo NL43, rectangulum pzp yzy aequale mixtilineo LH ccc 4: & ab intersectionibus rectarum rectangulum xxx yzy dividentium cum curva sss zwz, nempe sss, ttt, wzw, zwz, ducantur perpendiculares vtrinque in dividentes proximas, nempe sss uau, ttt aza, ttt bza, wzw eze, wzw gzg, zwz aca, ita ut aza svs eze wzw aca zwz yzy zzz fiat rectilineum intra mixtilineum, & sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz fiat rectilineum eisdem mixtilineo circumscriptum. Patet ex antecedente P2 esse ad X seu xxx zzz, ut R2 ad 72 seu sss zzz, & permutando ut P2 ad R2 ita xxx zzz ad sss zzz; & ideo ut P3 ad R3 ita wzw zyz ad sss zyz; sed rectangulum xxx zyz est aequale mixtilineo PN32, & ideo permutando, ut P3 ad mixtilineum ita R3 ad sss zyz, cumque P3 sit maior mixtilineo, erit R3 maior quam sss zyz: eadem methodo demonstratur S4 rectangulum esse maius quam ttt, & T ccc maius quam wzw yzy; est ergo rectilineum R aaa S bbb T ggg ccc 2 maius rectilineo sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz. Eodem modo ut N3 ad X seu dzd zyz ita S3 ad 93 seu ttt zyz. & permutando, vt N3 ad S3 ita dzd zyz ad ttt zyz, hoc est ut Q3 ad rrr 3 ita xxx zyz seu mixtilineum PN32 ad aza zyz, & permutando ut Q3 ad mixtilineum PN32 ita rrr 3 ad aza zyz, sed Q3 est minus mixtilineo, & ideo rrr 3 est minus quam aza zyz; eodem modo demonstratur 04 esse minus quam eze yyy, & n ccc minus quam aca yzy: & ideo rectilineum rrr S 0 T n V ccc 2 minus est rectilineo aza ttt eze wzw aca zwz yzy zzz; & proinde ambo rectilinea sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz, aza ttt eze wzw aca gzg yzy zzz consistunt inter duo recilinea R aaa S bbb T ggg ccc 2, rrr S 0 T n V ccc 2, hoc est maius priorum rectilineorum minus est maiore secundorum, & minus priorum maius minore secundorum; sed mixtilineum sss ttt wzw zwz yzy zzz consistat inter duo priora, & ideo consistit etiam inter duo posteriora nempe R aaa S bbb T ggg ccc 2, rrr S 0 T n V ccc 2, sed mixtilineum RSTVccc2 consistit etiam inter haec rectilinea, & proinde maior est differentia rectilineorum R aaa S bbb T ggg ccc 2, rrr S 0 T n V ccc 2, quam mixtilineorum RSTVccc2, sss ttt wzw zwz yzy zzz; sed ex positione differentia rectilineorum est minor quam a, & proinde differentia mixtilineorum est multo minor quam a, quod est absurdum, ponitur enim aequalis; non igitur differunt mixtilinea RSTVcc2, sss ttt wzw zwz yzy zzz, sed aequalia sunt, quod demonstrare oportuit.
Secundo nos eandem aequalitatem demonstrabimus in primis figuris, vbi supponimus curvam RV in progressu ab R ad V rectam 2 ccc semper magis appropinquare, & econtra curvam 7D in progressu a 7 ad D ab eadem recta magis elongari; & ideo curva sss zwz in progressu a sss ad zwz eo magis elongatur a recta zzz yzy, quoniam eodem modo elongatur curva sss zwz a recta zzz yzy, quo curva 7 D a recta a ccc. Si praedicta mixtilinea non sunt aequalia, sit eorum differntia a: deinde mixtilinea RSTVccc2, sss ttt wzw zwz zzz, dividantur a rectis perpendicularibus ad eorum base: 2 ccc, zzz yzy, omnino ut in antecedente demonstratione factum est, hac tamen lege ut differentia rectilineorum R aaa S bbb T ggg ccc 2, rrr S 0 T n V ccc 2, item & differentia rectilineaorum aza ttt eze wzw aca zwz yzy zzz, sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz, simul sint minores quantitate a; manifestum et enim hoc esse possibile, cum haec divisio in infinitum fieri possit. Eadem methodo, qua in priore demonstratione vsi sumus, demonstratur rectilineum R aaa S bbb T ggg ccc 2 maius esse rectilineo sss uau ttt bza gzg yzy zzz, & rectilineum rrr S 0 T n V ccc 2 minus esse rectilineo aza ttt eze wzw aca zwz yzy ttt. Hisce intellectis, si data mixtilinea non sunt aequalia, sit RSTVccc2 maius altero: manifestum et excessum rectilinei R aaa S bbb T ggg ccc 2 supra rectilineum sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz aequalae esse omnibus rectangulus rrr aaa, 0 bbb, n ggg, aza uau, eze bza, aca gzg, simul, sublato excessu rectilinei aza ttt eze wzw aca zwz yzy zzzsupra rectilineum rrr S 0 T n V ccc 2; sed excessus mixtilinei maioris supra mixtilineum minus, est minor dicto excessu rectilineorum, quoniam mixtilineum maius est minus rectilineo maiore, & mixtilineum minus est maius rectilineo minoer; & ideo excessus mixtilinei maioris supra mixtilineum minus, minor est dictis rectangulis simul, sublato excessu rectilinei aza ttt eze wzw aca zwz yzy zzz supra rectilineum rrr S 0 T n V ccc 2; sed dicta rectangula simul ex hypothesi minora sunt quantitate a, & ideo dicta rectangula simul sublato dictor excessu multo minora sunt quantitate a; & proinde mixtilineum maius excedit minur multo minore excessu quam a, quod absurdum, ponitur enim a excessus mixtilinei maioris supra minus; non est ergo mixtilineum RSTVccc2 maius mixtilineo sss ttt wzw zwz yzy zzz: sit (si sieri potest) minus; manifestum est excessum rectilinei aza ttt eze wzw aca zwz yzy zzz supra rectilineum rrr S 0 T n V ccc 2 aequalem esse omnibus retangulis aza uau, eze bza, aca gzg, rrr aaa, 0 bbb, n ggg, simul, sublato excessu rectilinei R aaa S bbb T ggg ccc 2 supra rectilineum sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz; sed excessus mixtilinei maioris sss ttt wzw zwz yzy zzz supra mixtilineum minus RSTV ccc 2, est minor dicto excessu rectilineorum, quoniam mixtilineum maius est minus rectilineo maiore & mixtilineum minus est maius rectilineo minore; & ideo excessus mixtilinei maioris supra minus minor est dictis rectangulis simul sublato excessu rectilinei R aaa S bbb T ggg ccc 2 supra rectilineum sss uau ttt bza wzw gzg yzy zzz; sed dicta rectangula simul, ex hypothesi, minora sunt quam a; & ideo dicta rectangula simul sublato dicto excessu multo minora sunt quam a; & proinde mixtilineum maius excedit minus multo minore excessu quam a, quod est absurdum, ponitur enim a excessus mixtilinei maioris supra minus; non est ergo mixtilineum sss ttt wzw zwz yzy zzz maius mixtilineo RSTVccc2, sed demonstratum est etiam nec esse minus; sunt igitur mixtilinea sss ttt wzw zwz yzy zzz, RSTVccc2, inter se aequalia, quod demonstrandum erat.
Sunt etiam alii huius theorematis casus, quibus omnibus potest applicari haec secunda demonstratio; volui tamen priorem etiam adhibere, quoniam mihi apparet simplicior, etiamsi non sit generalis; lectorem tamen admoneo illam priorem posse adhibere in casu maxime ordinario, nempe in figuris prioribus, reliquis manentibus dum curva RV in progressu ab R ad V magis a recta 2ccc elongatur.
Ex demonstratione manifestum est mixtilineum RSTVccc2 & superficiem trunci esse quantitates magnitudine & gravitate analogas, quoniam eadem aequalitas quae demonstratur in integris, eodem etiam modo demonstratur in partibus earum proportionalibus; & ideo earum centra aequilibrii eodem modo dividunt rectam ccc 2.
Non existimo opus esse Lectorem admonere, quod data hac vna trunci superficie, dentur omnes aliae, quarum plana secantia, basem (si opus est) productem in eadem recta secant, tales enim truncorum superficies inter se sunt ut earum altitudines, vel ut tangentes inclinationum planorum secantium, ut vulgo, & facillime demonstratur.
Sit curva quaecunque OIGE simplex & non sinuosa, ducantur duae rectae vt cunque inter se parallellae AD, Laaa, tui vtrique sit normalis recta RV. Sit mixtilineum RVYBD alis naturae, ut, ducta recta GSB ad libitum parallella rectis AD, Laaa, recta SB contenta inter rectam RV & curvam VYBD sit semper aequalis rectae GM tangenti curvam in puncto G protractae ad rectam Laaa. concipiatur super curva OIGE (cuius talis est curvitas, vt quo longius a punsto O producitur eo minus distet a recta RV) superficies cylindrici recti secta a plano transeunte per rectam L aaa & cylindrici basem
in angulo semirecto secante. Dico mixtilineum RVYBD esse aequale superficiei trunci inferioris cylindrici a plano resectae. Si non sint aequalia, sit eorum differentia bbb, dividaturque recta RV in tot partes aequales in punctis R, S, T, V, vt ductis rectis parallelis RD nempe SC, Tccc, VZ, & completis rectangulis RC, RB, Sccc, SY, TZ, differentia rectilinei RaBXYT mixtilineo inscripti a rectilineo RDCB ccc YZV eidem mixtilineo circumscripto sit minor quantitate bbb; manifestum enim est hoc sieri posse, quoniam recta RV divipotest in plures, & adhuc plures partes in insinitum. Producantur rectae parallellae DR, CS, cccT, ZV, per curvam propsitam in puncta E, G, I, O, & producantur rectae EL, GM, IN, curvam tangentes in punctis E, G, I, O, ad rectam L in punctis L, M, N, O, quae parallellas proximas ex utraq parte intersecent etiam in punctis F, H, N, w, 0, ggg; & ad parallelas proximas sint perpendiculares EQ, GK, IP. manifestum est (ob parallelisinum rectarum GK, SV) G K esse: GH ut SV ad GM seu SB, & proinde rectangulum Sccc, nempe rectae GK in SB, aequale est rectangulo GH in SV, sed rectangulum GH in SV maius est portione superficiei trunci insistente curvae GI, quoniam GH recta maior est curua G & recta SV aequalis est maximae altitudini portionis superficiei cylindrici insistentis curvae GI ob planum seminormali ser basem secans per rectam Laaa; & ideo rectangulum S maius etiam est portione superficies trunci insistente curvae GI: eodem modo probatur rectangulum RC maius esse portione superficiei trunci insistente curvae GE & rectangulum TZ maius esse superficiei trunci insistente curvae OI; & ideo rectilineum RDCB ccc YZV mixtilineo circumscripto maius est tota trunci supersicie. Deinde ob parallelismum rectarum IP, SV, ut IP ad IN, seu GK vel ST ad 0I, ita TV ad IN vel TY; & proinde rectangulum SY nempe rectae S in TY aequale est rectangulo rectae 0I in TV, sed rectangulum hhhI in TV minor est portione superficiei trunci insistente curvae IG, quoniam recta 0I minor est curva GI & recta TV aequalis est minimae altitudini eiusdem portionis superficiei trunci insistentis curvae GI, ob planum seminormaliter basem secans per rectam Laaa; & ideo rectangulum SY minus est portione superficiei trunci insistente curvae GI: eodem modo probatur rectangulum RB minus esse portione superficiei trunci insistentis curvae GE; & ideo rectilineum TYXBaR mixtilineo inscriptum minus est integra superficiei trunci, sed differentia inter rectilineum inscriptum & circumscriptum minor est quantitate bbb ex suppositione; & ideo differentia inter superficiem trunci & figuram mixtilineam multo minor est quam bbb, quoniam earum utravis demonstratur maior rectilineo inscripto & minor circumscripto, quod sieri non potest, ponitur enim bbb differentia inter superficiem trunci & mixtilineum; nulla igitur est differentia inter siguram mixtilineam & superficiem trunci, & proinde sunt aequales, quod demonstrandum erat. Eisdem positis, sit mixtilineum VYBD23aaa talis naturae, sit, a quolioct puncto curvae E O nempe G ducta parallella rectae L aaa nempe G2, intercepta recta B2 inter duas curvas VD, Daaa siat aequalis tangenti curvam propositam in puncto G protractae ad rectam AD, nempe rectae Gggg dico mixtilineum VYBD23aaa aequaele esse superficiei trunci superiotis eiusdem prioris cylindrici posita eius altitudine recta RV. rectae MGggg in puncto G sit recta normalis G7, rectam RV secans in puncto 7. ob similitudinem triangulorum SG7 GKH , ut GS ad G7 ita GK ad GH, & ut GK ad GH ita SV ad GM vel SB, & SR ad Gggg vel B2; & ideo G S est ad G; ut RV ad S2. eodem modo demonstrari potest IT esse ad I 8 ut R V ad T3: cumque hoc siat in omnibus punctis curvae EO, manifestum est ex huius 2 mixtilineum RD23 aaa V esse aequale superficiei cylindrici recti insistenti curvae EO, cuius altitudo RV; atque superficies trunci inferioris aequalis est mixtilineo RVYBD, & proinde superficies trunci superioris aequalis est mixtilineo DBYVaaa32D, quod demonstrare oportuit.
Hinc etiam manifestum est superficiem trunci inferioris & mixtilineum RVYBD esse quantitates magnitudine & gravitate analogas, quoniam eadem aequalitas quae demonstratur de integris, eodem modo demonstratur de partibus earum proportionalibus. Manifestum quoque est superficiem trunci superioris & mixtilineum VYBD23aaa esse quantitates magnitudine & gravitate analogas; mixtilineum enim RVaaa32D magnitudine & gravitate analogus est toti superficiei cylindrici recti, & mixtilineum RVYBD magnitudine & gravitate analogum est superficiei trunci inferioris; & ideo (quod superest) mixtilineum DBYVaaa32D analogum est relictae superficiei trunci superioris; quod & c.
Huius propositionis diversi sunt casus, sed in omnibos eodem modo verisicari potest praecedens conclusio.
parallelae, & ducatur recta A B parallela & aequalis rectae E D: deinde per puncta B, D, ducatur curva congruens curvae A E, si modo punctum A superponatur puncto B & punctum E puncto D: manifestum est curvam BD secare curvam BD, item & rectam CD parallelam rectae GE tangente curvam AD; atque CD ex suppositione tangit quoque curvam BD, quod est absurdum, quoniam curvae AD, BD, sinuicem secant; rectae igitur CD, GE, non sunt parallellae quod demonstrandum erat.
Animaduertendum est nos hic tantum loqui de illis curvis simplicibus, quae (quo longius distant ab A) eo maiorem intercipiunt rectam ED; nam ex hac suppositione pendet demonstrationis vis.
Inuenire curvam, quae ad suum axem candem babeat rationem, quam figura qualibet exhibita ad rectangulum sibi inscriptum, & rectae datae seu quasitae curvae axi applicatum.
Sit figura exhibita ABSO, rectangulum inscriptum ABRO; sitque curva BS simplex seu non sinuosa, si autem sit, dividenda est in plures simplices, & demonstratio seorsim instituenda. deinde sit curva AFLP talis naturae, ut, ducta recta a quacunq; IN normalirectae AO, curvam AFLP secante in L, recta IN sit aequalis potentia vtrique IL, IM: deinde ducatur curva AEKQ talis naturae, ut, ducta recta quacunque IM recta AO perpendiculari & curvam AEKQ secante in K & AFLP in L, rectangulum MIL sit aequale mixtilineo IAFL dico figuram ABSO esse ad rectangulum ABRO ut curva AEKQ ad rectam AO. sit in curva AFLP punctum ad libitum K, per quod ducatur recta I N perpendcularis rectae AO & lineas AFLP, BR, BHNS, secans in L, M, N, punctis; sitque ut IL ad IM ita IK ad IC & ducatur KC: recta KC curvam AQ secat vel tangit in puncto K; si sieri potest, cam secet in K, & ideo intra curvam cadet nempe intra punctum E versus verticem A: ducatur per punctum E recta DH rectae IN parallella lineas AQ, AP, BR, BS, secans in punctis E, F, G, H, & rectam LC in a, item compleatur rectangulum ILZC, cuius latus LZ rectam DH secet in X, quoniam IL est ad IM ut IK ad IC, erit rectangulum MIK seu mixtilineum IAFL aequale rectangulo IZ: & quoniam rectangulum GDE est aequale mixtilineo DAF, erit ut IK ad DE ita mixtilineum IAFL ad mixtilineum DAF, at IK ad DE maiorem habet rationem quam ad D a; & ideo mixtilineum IAFL maiorem habet rationem ad mixtilineum DAF quam IK habet ad D a seu IC ad DC; & igitur mixtilineum IAFL miaorem habet rationem ad mixtilineum DAF quam rectangulum IZ ad rectangulum DZ, & per concersionem rationis mixtilineum IAFL ad mixtilineum IDFL habet minorem rationem quam rectangulum IZ ad rectangulum IX, & permutando mixtilineum IAFL ad
rectangulum IZ minorem habet rationem quam mixtilineum IDFL ad rectangulum IX, cumq; rectangulum IZ sit aequale mixtilineo IAFL, erit rectangulum IX minus mixtilineo IDFL, sed & maius est, quod est absurdum; & proinde recta KC intra curvam AQ non cadit versus verticem: si sieri potest, cadat recta CK intra curvam versus basem reliquis se habentibus ut in priore positione; eritque ut IK ad DE ita mixtilineum IAFL ad mixtilineum DALF, at IK ad DE maiorem habet rationem quam ad Da; & ideo mixtilineum IAFL ad mixtilineum DALF maiorem habet rationem quam IK ad Da seu IC ad DC; & igitur mixtilineum IAFL ad mixtilineum DALF maiorem habet rationem quam rectangulum IZ ad rectangulum DZ, & inuertendo, per conversionem rationis & rursus invertendo, mixtilineum IAFL ad mixtilineum IDFL maiorem habet rationem quam rectangulum IZ ad rectangulum IX, & permutando mixtilineum IAFL ad rectangulum IZ maiorem habet rationem quam mixtilineum IDFL ad rectangulum IX, cumque mixtilineum IAFL sit aequale rectangulo IZ, erit rectangulum IX maius quam mixtilineum IDFL, sed & minus est, quod est absurdum; non cadit ergo recta CK intra curvam AQ versus basem, & ideo recta KC curvam A Q tangit in puncto K rectae CK sit perpendicularis recta K T rectae A O occurrens in T; manifestum est CI esse ad CK ut IK ad KT; atque CI est ad CK ut MI ad NI, quoniam rectae IN, IM, IL, efficiunt triangulum rectangulum simile triangulo CIK, cuius latera IM, IN sunt homologa lateribus CI, CK; & pronde ut IK ad KT ita IM ad IN; cumque hoc eodem modo siat in omnibus punctis curvae AQ, manifestum est ex huius 2 rectam AO esse ad curvam AQ ut rectangulum OB ad figuram ABSO, quod demonstrate oportuit.
Scholivm.
Hvius propositionis inversum facile quoque demonstratur; nempe, si recta AO sit ad curvam AQ vt rectangulum OB ad figuram ABSO, item si curva AP talis sit naturae ut ducta IN quaecunque A O rectae perpendicularis aequivaleat potentia utrique IL, IM; erit rectangulum MIK aequale mixtilineo I A F L: si non sit ita, ducatur curva AVY talis naturae ut rectangulum MIV siat aequale mixtilineo IAFL, & demonstrabitur secundum tenorem huius propositionis rectas (quae curvas AY, AQ, tangunt in punctis V & K) esse inter se parallelas, quod est absurdnm contra propositionem praecedentem.
Huis etiam propositionis varii sunt casus, sed hoc intelecto, in reliquis nulla restat difficultas.
Rectam ducere datam curvam tangentem in eius puncto dato, si modo curva sit ex earum numero, quas Cartesius appellat Geometricas.
Sit curva BHC hyperbola, cuius diameter recta AK & ordinatim applicatae EH, KC, talis naturae, ut solidum ex quadrato a BE in AE sit ad solidum ex quadrato a BK in AK ut cubas ab EH ad cubum a KC. Sit AB data a, BE b, & ratio solidi ex quadrato a BE in AE ad cubum ab EH ut annn ad rnnn: oportet invenire punctum F, vt ducta recta FH hyperbolam tangat in puncto H. ex datis AB, BE, datur AE a+b & EHVC (formula pg 19).
Sit EFz & DE nihil seu serum o; & proinde erit BD b-o & AD a+b-o, FD z-o item DGVC
(formula page 19)quoniam supponimus ordinatim applicatam DG incidere in curvam in eodem puncto G vbirecta FH eidem (si modo possibile sit) curvae occurrit, erit ut EH ad EF ita DG ad DF; & ideo rectangulum ex DF in EH nempe VC
(formula pg 19+20)
aequale erit rectangulo EF in DG nempe
(formula pg 20);& denominatores propter aequalitatem auserendo, item & utrumque aequationis terminum cubice multiplicando & aequalia utrinque auserendo resultat aequatio haec (formula pg 20)
& omnia per o dividendo (formula pg 20)
& quantitates reiiciendo in quibus reperitur o vel eius potestas, restant -- (formula 20)
& ubique defectus addendo & omnia dividendo per ( ) aequatio est (formula pg 21),
nempe recta EF, quae inuenienda erat.
Sit curva ADIM cuius axis AL, sitque alia curua AFKO eius naturae, ut, ducta recta quacunque HIK, rectae AL perpendiculari, curva AI sit ad rectam IK ut P ad Q, oportet ducere rectam tangentem curvam AFKO in puncto K ducatur recta BI tangens curvam AD IM in punctol (hoc enim sieri posse supponimus) sitque recta IB aequalis curvae AI & ducatur recta BK, quam dico tangere curvam AFKO in puncto K: si eam non tangat, cadat intra, sitque punctum G intra curvam versus verticem, & ducatur rectae KH parallella GF EDC. manifestum est IK esse ad EG ut IB ad EB, & per conuersionem rationis IK est ad differentiam inter IK & EG ut IB ad IE & permutando ut IK ad IB seu IA curvam, hoc est ut Q ad P, ita differentia inter IK & EG ad EI, atque ut Q ad P ita DF ad DA curvam; & ideo ut IK ad IA curuam ita DF ad DA curvam, & per mutando ut IK ad DF ita IA curua ad DA curvam, & per conversionem rationis, ut IK ad differentiam inter IK & D F ita curvae IA seu recta IB ad curvam ID; at differentia inter IK & EG maior est differentia inter IK & DF, quoniam punctum supponitur cadere intra curvam; & proinde IK minore habet rationem ad excessum supra EG quam ad excessusupra DF; & ideo IB est ad IE in minore ratione quam ad D est igitur IE maior quam, DI, quod est absurdum, non erg cadit recta BK intra curvam AFKO versus verticem: cad intra (si sieri potest) versus basem nempe producta in puncto R.IK est ad NR ut IB ad NB, & IK est ad diferentiam inter IK & NR ut IB ad IN, permutando ut IK ad IB seu IA curuam, hoc est ut Q ad P ita differentia inter IK & NR ad IN, atque ut Q ad P ita MO ad MA curvam, & ideo ut IK ad IA curvam ita M O ad MA curvam, & permutando ut IK, ad MO ita IA curva ad MA curvam, & ut IK ad differentiam inter IK & MO ita IA curva seu IB ad IM curvam; at differentia inter IK &
NR minor est differentia inter IK & MO, quoniam supponimus R cadere intra curvam; & proinde IK maiorem habet rationem ad differentiam inter IK & NR quam ad differentiam inter IK & MO; & ideo IB est ad IN in maiore proportione quam ad IM; est igitur IN minor quam IM, quod est absurdum, non ergo cadit recta BK intra curvam versus basem, & proinde curvam tangit in puncto K, quod demonstrare oportuit.
Per hanc propositionem possunt omnium cycloidum curvae comparari cum suis axibus vel basibus secundum methodum 2 huius.
Sit curva AEIO, cuius axis AR; sitque alia curva AGMT talis naturae, ut ducta recta quaecunque N I M rectae AR perpendiculari, curva AI sit ad rectam NM ut P ad Q. oportet ducere rectam tangentem curvam AGMT in puncto M. ducatur recta I C tangens curvam AEIO in I (hoc enim sieri posse supponimus) & occurrens rectae AD ipsi NM parallelae in D. sit MZ ad rectam IC ut Q ad P, sitque ZD parallella rectae AR & ducatur recta DM, quam, dico esse tangentem curvae AGMT in puncto M si eam non tangat, cadat
intra, sitque punctum H intra curvam versus verticem & ducatur ipsi NM parallella reliquas lineas secans vt in figugura. AE est ad BG ut P ad Q & AI est ad NM ut P ad Q, & ideo ut AE ad BG ita AI ad NM & permutando ut AE ad AI ita BG ad NM, & ut AE ad EI ita BG ad KM, & permutando ut AE ad BG, hoc est ut P ad Q ita EI ad KM: deinde ut CI ad ZM, hoc est ut P ad Q ita FI ad LM, quod sie probo, ratio CI ad ZM componitur ex ratione CI ad DZ & DZ ad DM, & ratio FI ad LM componitur ex ratione FI ad HL seu CI ad DZ & HL ad LM seu DZ ad Z M, & proinde ut EI ad KM ita FI ad LM, & permutando ut EI ad FI ita KM ad LM; sed quoniam supponimus H cadere intra curvam, KM erit minor quam LM, & proinde EI minor erit quam FI, quod est absurdum; & ideo recta D M non cadet intra curvam versus verticem: cadat (si sieri possit) intra versus basem, nempe producta in puncto V. AI est ad NM ut P ad Q & AO est ad RT ut P ad Q, & ideo AI est ad NM ut AO ad RT, & permutando AI est ad A O ut NM ad R T, & ut A I ad IO ita NM ad XT, & permutando ut AI ad NM seu ut P ad Q ita IO ad XT: deinde ut CI ad ZM seu P ad Q ita IS ad XV (quod probatur sicut in priore positione) & proinde ut IO ad XT ita IS ad XV, & permutando ut IO ad IS ita XT ad XV; sed (quonian supponimus V cadere intra curvam) erit XT maior quam XV, & proinde IO maior erit quam IS, quod est absurdum, non ergo cadit recta DM intra curvam versus basem, & proinde curvam tangit in puncto M, quod demonstrare oportuit.
Per hanc propositionem potest curva, cuiuscunq, superficiei trunci cylindrici recti expansae in planum, comparari cum eiusdem axae vel base ope huius 2, si modo possit ducirecta tangens basem cylindrici in puncto dato.
Sit curva quaecunque AD & recta quaecunque BN: ducantur ex duobus curvae punctis quibuscunque A, D, duae rectae parallelae ad rectam BN, nempe AB, DE, & iungatur AD recta producta in H, ducanturque DG, AN, rectae curvam tangentes in punctis A, D: deinde compleantur parallelogramma ABGO, DENS, & producantur rectae AO, NS,
ut concurrani in Q dico trapezium ADEB maius esse mixtilineo ADLO, ducatur H K parallela & aequalis rectae A B; manifestum est trapezium ADEB esse aequale trapezio ADMK, item & trapezium ADMK maius esse trapezio ADLO, & ideo multo maius mixtilineo ADLO; patet ergo propositum nempe trapezium ADEB maius esse mixtilineo ADLO.
Producatur recta DG in C: dico rectilineum ABEDC minus esse mixtilineo ADSQ: ducatur recta C F parallela rectis AB, DE, & CR parallela rectis AQ, DS: patet trapezium ABFC esse aequale trapezio ACRQ & trapezium CFED esse aequale trapezio CDLI: & proinde rectilineum ABEDC aequale est rectilineo ACDLRQ, quod minus est rectilineo ACDSQ, & ideo rectilineum ABEDC multo minus est mixtilineo ADSQ, quae demonstranda erant.
Sit spatium mixtilineum quodcunque ABKI comprehensum a curva B K, recta A I & duabus rectis parallelis BA, KI; sitque curva M Y talis naturae, vt (sumpto in curva B K quolibet puncto C & ex eo ducta recta C E parallela rectae AB, & recta CZ curvam BK contingente terminata a recta AI, si opus est, producta in Z) recta EZ semper sit aequilis rectae CS parallelae rectae AZ & terminata a curu, Y M. dico mixtilineum BKMY, comprehensum a curvis BK, MY, & rectis BY, KM, rectae A Z parallelis, esse aequale mixtilineo B A I K. Si non sunt aequalis, sit eorum differentia X; & dividatur curvilineum BKMY a tot rectis CS, GP, KM, rectae BY parallelis, vt (ductis rectis OM, QN, TR, YV, parallelis rectae AB) omnia parallellogramma ON, QR, TV, simul minora sint quam X, hoc enim sieri potest ab indefinito parallelarum numero. ducantur subtendentes rectae BC, CG, GK, & tangentes in punctis B, C, G, K, BD, DF, FL, LK: manifestum est ex
praecedente trapezium ABCE maius esse mixtilineo BCST item & trapezium CEHG maius esse mixtilineo CGPQ & trapezium GHIK maius esse mixtilineo GKMO, & ideo rectilineum ABCGKI maius est mixtilineo BKMOPQST patet quoque ex antecedente rectilineum ABDCE minus esse mixtilineo BCVY & rectilineum ECFGH minus ese mixtilineo CGRS & rectilineum HGKI minus mixtilineo GKNP, & proinde rectilineum ABDFLKI minus est mixtilineo BKNPRSVY: cum igitur mixtilineum BAIK consistat inter rectilinea ABCGKI, ABDFLKI & mixtilineum BKMY consistat inter mixtilinea KM OPQSTB, KNPRSVYB, item rectilinea ABCGKI, ABDFLKI consistant inter mixtilinea BKMOPQST, BKNPRSVY, manisfestum est mixtilinea ABKI, KMYB, minore quantitate differre quam mixtilinea BKMOPQST, KNPRSVYB, sed horum differentia ex suppositione est minor quam X, & ideo differentia mixtilineorum ABKI, BKMY, est multo minor quam X, quod est absurdum, ponitur enim maior quam X; nulla ergo est differentia inter mixtilinea ABKI, BKMY, & ideo aequalia sunt, quod erat demonstrandum. Eadem fere esse demonstratio in duabus praecedentibus, etiamsi convexitas curvae BK esset versus rectam AI.
Si fuerit figura ABFE comprehensa a rectis parallelis AB, EF, recta AE parallelis normali & a B F linea qualibet, item figura GHK comprehensa a rectis GH, GK, (ita ut GH sit aequalis rectae AB & GK rectae EF) & linea HK, quae etiam aequalis est linea BF hac lege, ut, sumptis ad linbitum lineis aequalibus BD,HI, iuncta recta GI siat aequalis rectae DC perpendiculari ad rectam A E: appello figuram CHK, figuram ABFE involutam; & figuram ABFE, figuram GHK evolutam.
Appello quoque puncta B, H, vel D, I, vel F, K, sibi mutuo relativa.
Punctum G appello centrum involutionis.
Angulum HGK voco angulum involutionis.
Appello rectam A E evolutae figurae axem, item quamlibet CD illi perpendicularem axi ordinatim applicatam.
Sit rectangulum AFGB, quod involutum efficiat sectorem circuli BEG, item rectangulum ADHB, quod involutum efficiat sectorem BCH. dico angulum involutionis C BH maiorem esse angulo involutionis EBG, est enim ut BG ad BH ita arcus EG seu arcus CH ad arcum OH, sed BG maior est quam B H, & ideo CH maior est quam OH, & ideo angulus CBH maior est angulo EBG, quod erat demonstrandum.
Sit figura ABMI, quae inuoluta efficiat figuram NPX, sit excentro involutionis N arcus circuli PT: dico arcum PT minorem esse recta AI, seu figurae evolutae axe. ducatur recta BK parallela & equalis rectae AI, sitque rectangulum ad libitum EGLI, ut figurae ABMI inscribatur rectilineam ABFGLI, quod si inuolvatur erit eius angulus inuolutionis minor angulo involutionis rectanguli ABKI involuti, hoc autem ita innoteseit, rectilineum ABFGLI inuolutum idem est cum inuoluto rectangulo A B F E vna cum inuoluto rectangulo EGLI; & rectangulum ABKI involutum idem est cum priore involuto rectangulo ABFE vna cum inuoluto rectangulo EFKI, sed ex praecedente angulus involutionis rectanguli EGLI minor est angulo involutionis rectanguli EFKI, & proinde angulus involutionis rectilinei ABFGLI inuoluti minor est angulo involutionis rectanguli ABKI inuoluti: eodem prorsus modo (si ducantur rectae QR, SV, parallelae rectis AB, IM, & rectae R0, VY, parallelae axi AI, ut compleatur rectilineum ABQR0GSVYI) demonstrabitur eius angulus involutionis esse minor angulo inuolutionis rectilinei ABFGLI, & proinde multo minor erit angulo involutionis rectanguli ABKI, nempe, NT, supponimus enim sectorem rrr NT esse rectangulum ABKI involutum: denique eodem
semper modo demonstratur, quod, quo minus differt rectilineum inscriptum a figura ABMI, eo semper maior sit excessus anguli rrr NT supra angulum involutionis rectilinei; & ideo multo excedit angulus rrrNT ipsius figurae ABMI angulum involutionis PNX, & proinde figurae evolutae axis AB seu arcus rrr T excedit arcum PT, quod demonstrandum erat.
Sit secundo ex centro involutionis N arcus circuli OX: dico arcum OX maiorem esse recta AI nempe axe figurae PNX euolutae. ducatur recta MD parallela & aequalis rectae AI & producatur AB in D, sitque rectangulum ad libitum ACGE, ut figurae ABMI circumscribatur rectilineum ACGHMI, quod involuvatur, erit eius angulus involutionis maior angulo involutionis rectanguli ADMI, hoc autem ita innotescit, rectilineum ACGHMI inuolutum idem est cum involuto rectangulo EHMI vna cum involuto rectangulo ACGE, & rectangulum ADMI involutum idem est cum priore involuto rectangulo EHMI vna cum involuto rectangulo ADHE, sed ex praecedente angulus involutionis rectanguli ACGE maior est angulo involutionis ADHE, & proinde angulus involutionis rectilinei ACGHMI inuoluti maior est angulo involutionis rectanguli ADMI: eodem prorsus modo (si ducantur rectae R aba, VZ, parallelae rectis AB, IM, & rectae R a, VX, parallellae axi AI, ut compleatur rectilineum A a R aba GXVZMI) demonstrabitur eius angulus involutionis esse maior angulo involutiouis rectilinei ACGHMI, & proinde multo maior erit angulo involutionis rectanguli ADMI nempe cccNX, supponimus enim sectorem cccNX esse rectangulum ADMI inuolutum: deniq; eodem semper modo demonstratur, quod, quo minus differt rectilineum circumscriptum a figura ABMI, eo semper maior sit excessus anguli involutionis rectilinei supra angulum ccc NX, & ideo multo excedit angulus involutionis ipsius figura PNX angulum cccNX, & proinde figurae evolutae axis AI seu arcus cccX multo minor est arcu OX, quod demonstrare oportuit.
Ex data figura involuta, eiusdem evolutae axem invenire.
Sit figura involuta LBK, cuius evolutae oportet invenire axem. Centro L sit circuli arcus MK; sitque figura OP78 contenta rectis parallelis OP, 87, rectaque O8 ilas normaliter secante & linea P7 talis naturae, ut (in inuoluta sumpta qualibet recta L C producta in N, item in figura OP78 ducta recta SV rectae O8 perpendiculari & eam secante in ratione MN ad NK)87 sit ad SV ut LK ad LC. dico rectangulum circumscriptum OR78 esse ad figuram OP78 ut arcus MK ad axem figurae LBK euolutae: si non sit ita, sit vt OR78 ad OP78 ita MK ad a, quae differat ab axe figurae LBK euolutae quantitate ccc: deinde e centro L circumscribantur figurae inuolutae LBK similes arcus circulares AC, EG, HK, & eidem inscribantur totidem similes arcus circulares BD, CF, GI, vt differentia inter arcus inscriptos & circumscriptos sit minor quam ccc; deinde diuidatur recta O8 in tot partes aequales OS, S4, 48, in quot diuiditur arcus MK a rectis LC, LG, productis, ducanturque ipsi O8 perpendiculares rectae SY, 4Z, lineam P7 secantes in punctis V, 2, & iungantur rectae OS parallelae PT, QV3, X26. manifestum est ex figurae OP78 descriptione SY esse ad SV vt LN ad LC seu vt arcus MN ad arcum AC; & ideo vt recangulum OY ad rectangulum OV ita arcus MN ad arcum AC; eodem modo probatur, vt rectangulum
SZ ad rectangulum S2 ita arcus NH seu arcus MN ad arcum EG, & vt rectangulum 47 ad rectangulum 47 ita arcus HK ad arcum HK, cumque omnes primae inter se & omnes tertiae inter se sint aequales, erit vt omnes primae nempe rectangulum O7 ad omnes secundas nempe rectilineum OQVX2Z78 ita omnes tertiae nempe arcus MK ad omnes quartas nempe arcus AC, EG, HK; est autem vt O7 ad figuram OP78 ita MX ad a, at rectilineum OQVX2Z78 maius est quam figura OP78, & ideo arcus AC, EG, HK simul sunt maiores quam a; sed arcus AC, EG, HK, maiores etiam sunt quam axis figurae LKB euolutae, quod sie probo, axis totius figurae LBk euolutae est aequalis axibus figurarum BLC, CLG, GLK, euolutarum, sed ex antecedente axis figurae LBC euolutae minor est arcu AC, & axis figurae CLG euolutae minor arcu EG, item axis figurae GLK euolutae minor arcu HK, & igitur axdes omnium figurarum partialium simul seu axis figurae LBK euolutae minor erit omnibus arcubus AC, EG, HK, simul. Deinde ex descriptione figurae OP78, vtOR adOP seu vt OY ad OT ita LM ad LB vel MN ad BD, eodemque modo demonstratur, vt SZ ad S3 ita NH ad CF, & 47 ad 46 ita HK ad GI, cumque primae inter se & tertiae inter se semper sint aequales, erit vt omnes primae nempe O7 ad omnes secundas nempe rectilineum OPTV3268 ita omnes tertiae nempe MK ad omnes quartas nempe arcus BD, CF, GI; cumque sit vt O7 ad figuram OP78 ita MK ad a, & rectilineum OPTV3268 sit minus quam figura OP78, erumt omnes arcus BD, CF, GI simul minores quam a, sed arcus BD, CF, GI, minores etiam sunt quam axis figurae LBK euolutae, quod sie probo, axis totius figurae LBK euolutae est aequalis axibus figurarum BLC, CLG, GLK, euolutarum, sed ex antecedente, axis figurae LBC euolutae maior est arcu BD, & axis figurae CLG euolutae maior arcu CF & axis figurae GLK maior arcu GI, & igitur axis omnium figurarum partialium simul seu axis figurae LBK euolutae maior est omnibus arcubus BD, CF, GI, simul;euidens igitur est quatuor esse magnitudines, nempe prima omnes arcus BD, CF, GI, simul, secunda axis figurae LBK euolutae, tertia a, quarta omnes arcus AC, EG, HK, simul, quarum maxima & minima sunt, omnes arcus AC, EG, HK, simul, & omnes arcus BD, CF, GI, simul, harum ergo differentia maior erit quam differentia duarum reliquarum nempe axis figurae LBK euolutae & quantitatis a, quod est absurdum, ponitur enim minor, nulla ergo est differentia inter a & axem figurae LB Keuolutae, & ideo aequales sunt, quod demonstrare oportuit.
Hinc manifestum est ex data figura inuoluta inueniri posse eandem euolutam, nam ex hac datur figurae inuolutae LBK vel eius cuiuslibet partis BLC (dum euoluitur) axis, danturque ordinatim applicatae, quoniam sunt eadem cum rectis inter centrum inuolutionis L & puncta sua relatiua in figura euoluta LBK.
In antecedente figura opportet inuenire rationem inter sectorem MLK & figuram BLK.
Sit figura OP78 contenta rectis parallelis OP, 87, rectaque O 8 illas normaliter secante & linea P7 talis naturae, vt (in inuoluta sumpta qualibet recta LC producta in N, item in figura OP78 ducta recta S V rectae O 8 perpendiculari & eam secante in ratione MN ad NK) 87 sit ad SV in duplicata ratione rectae LK ad LC: dico rectangulum circumscriptum OR78 esse ad figuram OP78, vt sector LMK ad inuolutam LBK. Si non sit ita, sit vt OR78 ad OP78 ita MLK ad a, quae differat ab inuoluta BLK quantitate ccc: deinde circumscribantur figurae inuolutae BLK similes sectores circulares LAC, LEG, LHK, & eidem inscribantur totidem similes sectores circulares LBD, LCF, LGI, vt differentia inter mixtilineum inscriptum LBDCFGI & circumscriptum LACEGHK sit minor quam ccc: deinde diuidatur O8 in tot partes aequales OS, S4, 48, in quot diuiditur arcus MK a rectis LC, LG, productis, ducanturque ipsi O8 perpendiculares rectae SY, 4Z, lineam P7 secantes in punctis, V, 2, & inungantur rectae OS parallelae PT, QV3, X26: manifestum est ex figurae OP78 descriptione SY esse ad SV seu OY ad OV in duplicata ratione LN ad LC seu vt sector LMN ad sectorem LAC; eodem modo probatur 8Z esse ad SZ vt LNH ad LEG, & 47 ad 47 vt LHK ad LHK, cumque omnes primae inter se & omnestertiae inter se sint aequales, erit vt omnes primae nempe rectangulum O7 ad omnes secundas nempe rectilineum OQVX2Z78 ita omnes tertiae nempe sector MLK ad omnes quartas nempe mixtilineum LACEGHK, est autem vt O7 ad figuram OP78 ita sector MLK ad a, at rectilineum OQVX2Z78 maius est quam figura OP78, & ideo mixtilineum LACEGHK maius est quam a. Deinde ex descriptione figurae OP78, O Rest ad O P vel OY ad OT in duplicata ratione LM ad LB vel vt MLN ad BLD, eodemque modo probatur, SZ ad S3 vt NLH ad CLF, & 47 ad 46 vt HLK ad GLI, cumque primae inter se & tertia inter se semper sint aequales, erit vt omnes primae nempe O7 ad omnes secundas nempe rectilineum OPTV3268 ita omnes tertiae nempe MLK ad omnes quartes nempe mixtilineum LBDCFGI, at rectilineum OPTV3268 minus est quam figura OP78, & ideo mixtilineum LBDCFGL minus est quam a; euidens igitur est quatuor esse magnitudines, nempe prima mixtilineum LBDCFGI, secunda, inuoluta LBK, tertia a, quarta mixtilineum LACEGHK, quarum maxima & minima sunt mixtilinea LACEGHK, LBDCFGI, harum ergo differentia maior erit quam differentia duarum reliquarum nempe a & inuolutae LBK, quod est absurdum, ponitur enim minor, nulla ergo est differentia inter a & inuolutam B L K, sunt ergo aequales, quod demonstrare oportuit.
Omnis figura evoluta est eiusdem inuoluta dupla.
Sit figura inuoluta LBK, quae euoluta efficiat figuraem OP78: dico figuram OP78 duplam esse figurae LBK: si ita non sit, siat euoluta OP78 dupla quantitatis x, quae differat ab inuoluta LBK quantitate ccc; inscribatur inuolutae LBK mixtilineum LBDCFGI & eidem circumscribatur mixtilineum LACEGHK vt eorum differentia sit minor quam sintque punctis B, C, G, K, evolutae puncta relatiua P, V, 7, & compleantur rectangula OV, OT, S2, S3, 47, 46. recta LC est aequalis rectae S V & curua A C est maior recta QV, ideo sector circularis LAC maior est dimidio rectanguli O eodem modo probatur sectorem circularem LGE maiorem se dimidio rectanguli S2 & sectorem circularem LHK maiorem esse dimidio rectanguli 47, & ideo mixtilineum LACGHK maius esse dimidio OQVX2Z78, & proinde multo maios quam dimidium evolutae OP78 nempe a. deinde recta OP est aequalis rectae LB & curva BD minor recta PT, & ideo sector circularis LBD minor est dimidio rectanguli OT, esse demque modo demonstratur sectorem LCF minorem esse dimidio rectanguli S3 & sectorem LGI minorem esse dimidio rectanguli 46, & ideo mixtilineum LBDCFGI minus est dimidio rectilinei OPTV3268, & proinde multo minus quam dimidium evolutae nempe a: evidens igitur est quatuor esse quantitates, nempe prima mixtilineum LBDCFGI secunda, involuta LBK, tertia a, quarta mixtilineum LACFGHK, quarum maxima & minima sunt mixtilinea LACEGHK, LBDCFGI, harum ergo differentia maior erit quam differentia duarum reliquarum nempe a & involutae LBK: quod est absurdum, ponitur enim minor, nulla ergo est differentia inter a & involutam LBK, sunt ergo aequales, quod demonstrare opportuit.
Sit figura involuta ABG; producatur recta AG & in eam sit perpendicularis recta BK, quae tota cadat extra curvam BG: dico rectam BK non esse minorem quam axis figurae ABG evolutae: sit si sieri potest minor praedicto axe, sitque axis figurae ABC evolutae minor quam excessus axis figurae ABG euolutae supra rectam BK; ducantur ex centro A arcus circulares CI, HO; manifestum est arcum CI maiorem esse axe figurae CAH evolutae & HO maiorem esse axe figurae HAG evolutae, atque recta DI maior est arcu CI & recta IK maior est arcu HO, & ideo recta DK multo maior est quam axis figurae CAH evolutae vna cum axe figurae HAG euolutae, hoc est, recta DK maior est axe figurae CAG euolutae, sed axis figurae BAG euolutae superat rectam BK maiore excessu quam axe figurae BAC euolutae, & proinde axis figurae BAG euolutae minus axis figurae BAC euolutae, hoc est
axis figurae CAG euolutae, maior est recta BK, sed & minor est rectae DK, quod est absurdam, recta ergo BK non est minor axe figurae BAG euolutae, quod demonstrandum erat. Ex puncto G in rectam AB sit perpendicularis recta GF, quam dico esse minorem axe figurae ABG euolutae. centro A sit arcus circularis GE, qui maior est recta GF & minor axe figurae ABG euolutae, & ideo recta G F multo minor est axe figurae ABG euolutae, quod demonstrare oportuit.
Sit figura euoluta ACRQ, in qua sit ordinatim applicata ad libitum OI. deinde manente recta OI inuolutar figura ACRQ in figuram inuolutam IBOP: dico lineas BOP cadere inter lineam ADQ & eius axem CR, item lineas AOQ, BOP, seu inuicem tangere in puncto O. si sieri potest cadat lineao OP extra lineam OQ in puncto N: suppono curuam OQ (quo propius ad Q) eo longius distare ab axe IR, & igitru NM perpendicularis recta in rectam IO productar cadit extra curuam ON, & proinde recta NM (ex antecedente) non est minor quam axis figurae ION euolutae. Sit ita euoluta ordinatim applicata VS aequalis rectae IN; manifestrum figuram OSVI esse ION euolutam, atque IN seu SV esse maior quam LT,
& ideo SI est maior quam IL, nempe axis figurae ION euolutae maior quam MN, quod est absurdum & proinde OP non cadit extra OQ: eodem modo probatur OP non coincidere cum OQ, cadit ergo intra, quod demonstrare oportuit.
Secundo, si sieri potest, cadat linea OB extra lineam OA in puncto D; suppono curuam OA (quo propius ad A) eo minus distare ab axe CI; cadat DF perpendicularis in rectam OI non productam intra curauam DO, & ideo DF est minor axe figurae IDO euolutae: sit in euoluta ordinatim appliacta EH, aequalis rectae DI; manifestum est figuram OEHI esse IOD euolutam, atque I D seu H E maior est quam recta KG, & ideo GI est maior quam HI, nempe DF maio quam axis figurae, IDO euolutae, quod est absurdum ex huius antecedente, & proinde BO non cadit extra AO: eodem modo probatur OB non coinceidere cum OA, cadit ergo intra, quod demonstrare opportuit.
Quod si perpendicularis DF cadat in IO productam, non potest IOB ese figura IOA C inuoluta, quoniam ID maior erit quam vlla ordinatim applicata in figura IOAC.
Qvoniam figurae CAO QR, IBOP, se mutuo tangunt in puncto O, manifestum est rectam, vnam ex his figuris tangentem in puncto O, alteram etiam in eodem puncto tangere; atque hinc euidens est methodus ducendi rectam, quae inuolutam in dato puncto tangat, si modo detur methodus ducendirectam, quae euolutam in dato puncto contingat, & e contra; recta enim tangens euolutam eodem inclinat angulo ad ordinatim applicatam, quo tangens inuolutam inclinat ad eandem ordinatim applicatam in centrium inuolutionis cum reliquis concurrentem.
Omnia praedicta de figurarum inuolutione eodem modo demonstrantur, quando euolutae curua est conuexa versus axem, etiamsi in nostris figuris euolutae curua sit versus axae concaua.
Sit figura quaecunque AB super qua imaginetur cylindricus rectus fectus a plano transeunte per rectam F G & planum baseos AB seminormaliter secante. sit recta ML rectae FG parallela, sitque super recta ML mixtilineum MOLN talis naturae, vt (ducta recta quacunque EDCNO rectae FG normali & figuras AB, LOMN, secante in punctis D, C, N, O) recta affignata P sit ad mediam arithmeticam inter D, E, CE, vt DC ad NO. Dico cylindricum rectum cuius basis MOLN & altitudo recta P esse aequalem inferiori trunco cylindrici super AB secti vt supra dictum est. Quoniam enim P est ad mediam arithmeticam inter DE, CE, vt DC ad NO, igitur rectangulum P in NO aequale est trapezio a rectis DC, CE, DE, rectangulo ad D & C, sed tale trapezium est communis sectio plani super recta EO ad basem A B recti cum trunco inferiore cylindrici; cumque hoc semper siat vbicunque ducatur recta EDCNO, manifestum est ex doctrina ductuum Gregorii a S. Vincentio cylindricum rectum cuius basis MOLN & altitudo P aequalem esse trunco inferiori cylindrici recti super MOLN sective vt supra dictum est, quod demonstrare oportuit.
Hinc quoque patet cylindricum cuius basis MOLN & altitudo P esse magnitudine & grauitate analogum dicto trunco; cumque cylindricus sit suae basi analogus, patet etiam truncum esse eidem basi magnitudine & grauitate analogum.
Eisdem positis quae in antecedente, sit recta FZ recta FG normalis, super qua sit mixtilineum QTVR talis naturae, vt (ducta recta quacunque RTDS rectae FR normali & figuras QTVR, AB, intersecante in punctis T, D, S) recta affignata P sit ad DS, vt recta RF ad rectam RT. dico cylindricum rectum cuius basis QTVR & altitudom P esse aequalem inferiori trunco cylindrici super AB secti vt supra dictum est, nempe per planum in recta FG transiens & basem A B seminormaliter secans. Quoniam P est ad DS vt RF ad RT, erie rectangulum P in R T aequale rectangulo RF in DS, sed rectangulum RF in DS est communis intersectio trunci infectioris cylindrici cum plano super recta RS plano baseos
AB normali, & ideo rectangulum P in RT eidem communi sectioni est aequale, cumque hoc semper siat vbicunque ducatur recta RS, manifestum est ex doctrina ductuum Gregorii a S. Vincentio cylindricum rectum cuius basis QTVR & altido P aequalem esse trunco inferiori cylindrici recti super AB secti vt dictum est supra, quod demonstrare oportuit.
Hinc etiam euidens est cylindricum cuius basis QTVR & altitudo P esse magnitudine & grauitate analogum dicto trunco cylindrici recti, & proinde basis quoque cylindrici recti QTVR eidem trnco est analoga magnitudine & grauitate.
Supposito omnium figurarum quadraturas & centra grauitatis data esse, facile erit omnium trncorum cylindrici cuiuslibet recti cubaturas & centra grauitatis ex hac proportione & praecedente inuenire, vel e contra: eodem modo ex huius secunda tertia & quarta datis omnium figurarum quadraturis & grauitatis centris non difficile est inuenire superficiei cuiuscunque trunci cylindrici recti quadraturam & grauitatis centrum vel e contra, quod hic admonuisse suficiat.
Sit solidum rotundum quodlibet sectum per diametrum AD plano normali ad basem circularem BOCN a diametro BC, & intersecione cum plano eficiens figuram ABC: secetur solidum rotundum ABC ab alio plano quomodocunque FNGO ad planum AB normali, ita vt communis solidi & plani intersectio siat figura FNGO, cuius intersectio cum plano ABC est recta FG: ducatur FK rectae BC parallella & rectae AD occurrens in I. concipiatur solidum rotundum, diametrum habens FG, ex circulis constatum, quorum radii sunt omnes perpendiculares ex recta FG in curuam; FO, ita vt diameter figurae F, G per centra infinitorum illorum circulorum transiens, ad illos omnes inclinet in angulo aequali ipsi FGB. ex datis, solido ABC & punctis F, G, oportet etiam exhibere mensuram solidi ilius rotundi, quod sit FOGN. AD rectam FG secet in E, & rectae BC parallella ducatur per E recta XEZ. ex datis punctis F, G, datur punctum E, quoniam supponitur dari ABC figura: infra XZ ducatur quodlibet planum basi BOCN parallellum & cum planis ABC, FOGN, communes intersectiones faciens rectas PG, RS: manifestum RS esse radium circuli in solido FOGN per R transeuntis; & ob rotunditatem solidi ABC, & sectionem normalem plani ABC ad basem, punctum S est in semircirculo, cuius diameter PQ; igitur quadratum rectae RS aequale est rectangulo PRQ, & circulus ex radio RS aequalis
armillae circulari PRQ; cumque hoc semper siat inter E & G; erit portio solidi rotundi FO GN infra E aequalis omnibus armillis circularibus inter circulum XEZ & armilliam BGC, hoc est, solido excauato aequali portioni solidi rotundi XZCB post ablatum conum cuius vertex E & semidiameter baseos DG: eodem modo probatur portionem solidi rotundi FOGN inter E & F aequalem esse solido excauato F KZX post ablatum conum, cuius vertex E & baseos semidiameter I F: & igitur si a portione solidi rotundi data FKCB, auferatur quadruplum conorum ad verticem datorum FEI, DEG; relinquetur solidum quaesitum rotundum FOGN, vero daretur centrum grauitatis solidi rotundi ABC & centrum ablati AFK; daretur etiam centrum gauitatis portinis FKCB, quo data vna cum centro grauitatis conorum astrahendorum, datur etiam centrum grauitatis portionis excauatae, quae cum solidio rotundo FOGN est proportionater analoga, vt liquet ex demonstratione; ergo datur etiam centrum grauitatis solidi rotundi FOG. Sunt etiam alii huis propositionis casus, sed hoc intellecto in reliquis nullarstat difficultas.
Sit solidum rotundum sectum per diametrum AE, plan normali ad basem circularem a diametro BC, & intersectione cum plano efficiens figuram BAC. Sit FAEG parallellogramum, & describatur linea ALD eius naturae vt ducta recta H L vtcunque basi B C parallella, recta HM, IK, KL, sint continue proportionales. ex data solidi rotunda ABC ad cylindrum datum ratione, oportet figurae ALDE quadraturam inuenire. ducatur recta vtcunque HIKLN: quadratum a latere IK, hoc est rectangulum HKL est quarta pars quadrati ex IN; & ideo rectangulum HKL est ad circulum cum diametro IN in ratione composita ex ratione subquadruple & ex ratione quadrati diametri ad circulum; sed punctum sumptum est arbitrarie; & proinde cylindricus rectus exbase ALDEK in altitudinem HK est ad solidum rotundum AC in ratione composita ex ratione subquadrupla & ex ratione quadrati diametri ad circulum; & ideo quadruplum cylindrici praedicti est ad solidum rotundum ABC, vt quadratum diametri ad circulum hoc est, vt parallellipipe dum rectangulum ad cylindrum eiusdem altitudinis sibi inscriptum & permutando, quadruplum cylindrici est ad parallellipipedum vt solidum rotundum ad cylindrum; proinde datur ratio quadrupli cylindrici ad parallellipipedum, & ideo datur cylindrici cubatura, & basaeos ALDEK quadratura.
Ex demonstratione etiam manifestum est solidum rotundum ABC esse figurae AL D EK analogum tam in magnitudine quam in grauitate, quoniam eadem quae demonstrandur de totis, eodem modo demonstrari possunt de partibus eorum proportionalibus; & igitur centrum grauitatis solidi rotundi est centrum aequilibrii figurae.
Hinc etiam manifestum est cylindricum cuius basis AKED & altitudo HK duplum esse trunci cylindrici recti cuius basis AIBE secti a plano in angulo semirecto inclinante, & per rectam AE baseos planum secante; hoc autem trunco dato, datur quilibet alius truncus per eandem rectam AE abcissus, quoniam tales trunci inter se sunt vt altitudines, vel vt inclinationum tangentes, quod facile est demonstratu.
Nullo quoque negotio demonstratur huius problema conuersum, nempe ex datis figurae alicuius quadraturam grauitatis centro; solidi alciuius rotundi ad cylindrum dat proportionem, & eius centrum grauitatis, inuenire.
Si cylindricus rectus existens super qualibet figura, secetur plano quilibet truncus huius cylindrici erit ad solidum rotundum oritum ex eius base rotata circa communem sectionem baseos (si ope est) producta & plani secantis, vt altitudo cylindric ad circus ferentiam circuli, cuius semidiameter est radius rotationis.
Sit cylindricus rectus ABDC super figura quacunque DCF, qui secetur plano quocunque KINM, ita vt communis intersectio plani cum cylindrico siat figura RGHQ.
producatur planum secans dones baseos DCF planum secet in recta KI, & planum AB in recta MN: & puncto quolibet rectae IK nempe L, ducatur eidem IK perpendiculare planum OLP, secans plan IKMN, DFC, normaliter in rectis OL, LP; sitque perpendicularis in LP recta OP. Supponimus hic KI esse axem rotationis; & rectam PL illi normalem, appellamus radium rotationis. dico truncum cylindrici RQDC esse ad solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DEFC circa IK axem rotationis, vt OP altitudo cylindrici ad circumferentiam circuli, cuius semidiameter est radius rotationis LP. per basem DEFC ducatur vbilibet recta EF, a baseos circumferentia vtrinque terminata in E & F, quae producta, axi rotationis normaliter incidat in puncto V: a punctis E, F, excitentur perpendiculares baseos plano EH, FG, a plano secante terminatae in H & G, quae necessario sunt in superficie turnci ob cylindricum rectum, ducaturque VH recta, quae necessario existit in IKMN plano secante: manifestum est triangula OLP, HEV, rectangula ad P & E (cum habeamt angulos OLP, HEV, aequales inclinationi plani secantis I K M N) esse similia; & ducta recta GV, ob eandem rationem similia sunt triangula HEV, GFV, cumque GF sit parallella rectae HE, & EF in directum EV; coincident rectae GV, HV, in vnam rectam plani IKMN, eritque GHEF communis intersectio plani GFV, plano OPL parallelli, cum trunco cylindrici RQDC: patet ergo OP ad PL esse, vt HE ad EV; & ideo vt OP ad circumferentiam circuli cuius semidiameter EV; & vt OP ad circumferentiam circuli cuius semidiameter PL, ita (reliquos terminos in eandem altitudinem, nempe semissem rectae EV, ducendo) triangulum HEV ad circulum cuius semidameter EV: eodem modo demonstratur esse, vt OP ad circumferentiam circuli, cuius semdiameter PL, ita triangulum GFV ad circulum, cuius semidiameter FV: est igitur totum triangulum GFV ad totum circulum cuius semidiameter FV, ita ablatum triangulum HEV ad ablatum circulum cuius semidiameter EV; & proinde in eodem ratione erit relictum trapezium GF EH ad relictam armillam circularem genitam ex reuolutione rectae FE circa axem rotationis IK, nempe in ratione OP ad circumferentiam circuli, cuius semidiameter LP: atque haec proportio eodem modo demonstratur de omnibus rectis ductis in base DEFC, quae (si opus est) productae, in axem rotationis IK normaliter incidunt; atque ex omnibus istis rectis constatur ipsa basis DC; ex omnibus trapeziis super istis rectis descriptis constatur truncus RQDC, & ex omnibus armillis abistarum rectarum reuolutione genitis, constatur solidum rotundum genitum a reuolutione baseos circa axem rotationis IK; & proinde vt vna antecedentium ad vnam consequentium, nimirum OP altitudo cylindri ad circumferentiam circuli cuius semidiameter PL radius nempe rotationis, ita omnes antecedentes, nimirum omnia trapezia, hoc est truncus RQDC, ad omnes consequentes, nempe omnes armillas circulares, hoc est, solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DC circa axem IK, quod demonstrare oportuit.
Hoc theorema eodem modo demonstratur de trunco superiore, si figura AB concipiatur rotari circa rectam MN.
Patet ex demonstratione truncum RQDC & solidum rotundum ortum ex reuolutione baseos DC circa axem rotationis IK, esse quantitates magnitudine & grauitate analogas, quoniam eadem proportio quae demonstratur inter integras, eodem modo demonstratur de earum partibus proportionalibus.
In sequentibus notandum (quando loquimur d superficie cylindrici vel trunci) nos intelligere solam superficiem sine basibus; hoc est nunquam consideramus figuras quae sunt cylindrici bases, nec communem secionem plani cylindricum secantis.
Eisdem positis, quain antecedente; superficies trunci erit ad superficiem solidi rotundi orti ex eius baserotata circa communem sectionem baseos (si opus est) producta & plani secantis, vt altitudo cylindrici ad circumferentiam circuli cuius semidiameter est radius rotationis.
Figura & praeparatio sint eaedem sicut in antecedente. dico superficiem trunci RQDC esse ad superficiem solidi rotundi orti ex rotatione figurae DEFC circa IK axem rotationis, vt OP altitudo cylindrici ad circumferentiam circuli cuius semidiameter est radius rotationis LP. in antecedente demonstratum est OP esse ad circumferentiam circuli cuius semidiameter PL, vt HE ad circumferentiam circuli cuius semidiameter EV: at que haec proportio eodem modo demonstratur de omnibus rectis in superficie trunci RQDC ad basem BEFC perpendicularibus, ad omnes circumferentias circulorum ab earum punctis insimis in circumrotatione descriptas; atque ex omnibus illis rectis constatur ipsa superficies trunci, & ex omnibus circumferentiis circulorum ab insimis rectarum punctis seu a baseos ambitu descriptis, constatur superficies solidi rotundi orti ex rotatione baseos circa axem I K; & ideo vt vna antecedentium ad vnam consequentium, nempe OP altitudo cylindrici ad circumferentiam circuli cuius semediameter est LP radius rotationis, ita omnes antecedentes, hoc est, superficies trunci RQDC, ad omnes consequentes, hoc est, superficiem solidi rotundi ortiex rotatione baseos DEFC circa axem rotationis IK, quod erat demonstrandum. Hoc etiam theorema demonstratur eodem modo de trunco superiore si figura AB concipiatur rotari circa rectam MN.
Patet ex demonstratione superficiem trunci RQDC & superficiem solidi rotundi orti ex rotatione baseos DEFG circa axem rotationis IK, esse quantitates magnitudine grauitate analogas, quoniam eadem proportio quae demonstratur esse inter totas, eodem modo demonstratur ese inter partes earum proportionales.
Eisdem positis, supponendo angulum inclinationis, Plani secant: cum base cylindrici (si opus est) producta, esse semirectum; Dico quadratum semidiametri circuli qequalis superficiei solidi rotundi duplum esse superficici trunci.
Est enim ex praedente, vt altitudo cylindrici ad circumferentiam circuli cuius semidiameter est radius rotationis, ita superficies trunci ad superficiem solidi rotundi in hoc autem casu, quando angulus inclinationis est semirectus, altitudo cylindrici est aequalis radio rotationis: & ideo in nostro casu, vt semidiameter ad sui circumferentiam, ita superficies trunci ad suprficiem solidi rotundi; vt autem semidiameter ad circumferentiam ita semisses quadrati semidiametri ad circulum; & ideo vt semissis quadrati semidiametri ad circulum, ita superficies trunci ad superficiem solidi rotundi; & conuertendo & permutando, circulus est ad superficiem solidi rotundi vt semissis quadrati semidiametri ad superficiem trunci; sed circulus supponitur aequalis superficiei solidi rotundi; & igitur semissis quadrati semidiametri illius circuli aequalis est superficiei trunci; & ideo quadratum semidiametri est duplum superficiei trunci, quod demonstrandum erat.
Duae praecedentes propositiones eodem prorsus modo demonstrantur de superficiebus rotundis genitis ex rotatione vnius vel plurium linearum quarumcunque siue rectarum, curuarum vel mixtarum, figuram non claudentium; semper enim ad superficies cylindrici recti super linea vel lineis a plano refectas, superficies rotundae ex linea vel linearum rotatione genitae praedictas habent rationes.
Eisdem positis qua in antecedente; Dico cubum semidiametri (phare aequalis solido rotundo esse ad truncum vt tria ad duo.
Est enim (in hoc casu) truncus ad solidum rotundum vt semidiameter ad sui circumferentiam, hoc est, vt duplum quadrati semidiametri ad quadruplum circuli, hoc est, vt 2/3 cubi semidiametri ad sphaeram; est igitur truncus ad solidum rotundum, vt 2/3 cubi semidiametri ad sphaeram; & conuertendo & permutando, solidum rotundum est ad sphaeram vt truncus ad 2/3 cubi semidiametri; sed sphaera supponitur aequalis solido rotundo; & ideo 2/3 cubi semidiametri sphaerae est aequalis trunco, at cubus semidiametri ad sui 2/3 rationem habet quam 3 ad 2; & ideo cubus semidiametri sphaerae ad truncum eandem habet rationem, quod demonstrandum erat.
Si duo cylindrici recti quicunque aquialis, secentur a planis quibuscunque, vnusquisque in duos truncos; proportio, solidi rotundi orti ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos (si opus est) producta cum Plano secante intersectionem, ad solidum rotundum ortum ex simili alterius cylindrici baseos rotatione, est composita ex directa proportione radiorum rotationis & directa proportione truncorum cylindrici inferiorum.
Sint duo cylindrici recti aequialti ABCD, NMOYXZ, basibus DC, XYZ, insistentes, a planis intersecti, vnu quisque in duos truncos; nempe cylindricus ABCD sit interfectus a plano KHFG in truncos AB43, 43DC, & cylindricus NMOYXZ a plano PSVR in truncos NMO765, 76ZXY. Sint plani HFGK cum basium planis cylindrici parallellarum (si opus est) productis, DC, OB, interseciones rectae KH, GF; sintque plani PSVR cum planis basium cylindrici parallellarum NMO, ZXY, (si opus est) productis, interseciones, rectae
RP, VS. Sintque plana rectis FG, SV, normalia, quae plana secantia intersecant in rectis IE, QT, & plana basium DC, ZXY, (si opus est) producta in rectis LE&T; sintque anguli ILE, QWT, recti. Manifestum est ex huius 23, positis HFGK, PSVR, planis secantibus & GF, VS, rotationis axibus, LE, WT, esse rotationis radios. Dico igitur solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DC circa GF, esse ad solidum rotundum ortum ex rotatione figurae ZXY circa VS, in ratione composita ex proportione trunci 34CD ad truncum 567YXZ & ex proportione radii rotationis LE ad radium rotationis WT. Ratio solidi rotundi orti ex figura DC ad solidum ortum ex figura ZXY, est composita, ex ratione solidi rotundi ex DC orti ad truncum 34CD, ex ratione trunci 567YXZ ad solidum rotundum ex ZXY ortum; sed ratio solidi rotundi ex DC orti ad truncum 34CD est aequalis rationi circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ed IL altitudinem cylindrici: & ratio trunci 567YXZ ad solidum rotundum ex YXZ ortum est aequalis rationi QW seu IL altitudinis cylindrici ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti; & proinde ratio solidi rotundi orti ex D C ad solidum rotundum ortum ex ZXY est composita, ex ratione trunci 34CD ad truncum 567YXZ, ex ratione circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ad rectam IL, & ex ratione rectae IL ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti; sed hae duae postremae rationes componunt rationem circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti, quae eadem est cum ratione semidiametri LE ad semidiametrum TW: & proinde solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DC circa axem FG est ad solidum rotundum ex rotatione figurae XYZ circa axem VS in ratione composita ex proportione trunci inferioris 34CD ad truncum inferiorem 567 YXZ, & ex proportione radii rotationis E L ad radium rotationis TW, quod demonstrandum erat.
Eisdem positis qua in antecedente; Proportio superficiei solidi rotundi orti ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos (si opus est) producta cum plano secante intersectionem, ad superficiem solidi rotundi orti ex simili alterius cylindrici baseos ratione, est composita ex directa proportione radiorum rotationis directa proportione superficierum truncorum inferiorum.
Figurae & praeparatio sint eaedem sicut in antecedente. Dico superficiem solidi rotundi orti ex rotatone figurae DC circa GF esse ad superficiem solidi rotundi ortio rotatione figurae ZXY circa V S in rationem composita ex proportione superficiei trunci 34CD ad superficiem trunci 56YXZ & ex proportione radii rotationis LE ad radium rotationis WT. Ratio superficiei solidi rotundi orti ex figura IC ad superficiem solidi rotundi orti ex figura ZXY est composita, ex ratione superficiei solidi rotundi ex DC orti ad superficiem trunci 34CD, ex ratione superficiei trunci 34CD ad superficiem trunci 567YXZ, & ex ratione superficiei trunci 567YXZ ad superficiem solidi rotundi ex ZXY orti sed ratio superficiei solidi rotundi ex DC orti ad superficiei se midiametro LE descripti ad IL altitudinem cylindrici: & ratio superficiei trunci 567YXZ ad superficiem solidi rotundi ex YXZ orti est aequalis rationi QW seu IL altitudinis cylindrici ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti; & proinde ratio, superficiei solidi rotundi orti ex DC ad superficiem solidi rotundi orti ex ZXYm est composita 567YXZ, ex ratione circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ad rectam IL, & ex ratione rectae IL ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW; sed hae duae postremae rationes componunt rationem circumferentia circuli ex semidiametro L E descripti ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti, quae eadem est cum ratione semidiametri LE ad semidiametrum TW; & proinde superficies solidi rotundi orti ex rotatione figurae DC circa axem FG est ad superficiem solidi rotundi orti ex rotatione figurae XYZ circa axem VS in ratione composita, ex proportione superficiei trunci inferioris 34CD ad superficiem trunci inferioris 567YXZ & ex proportione radii rotationis E L ad radium rotationis TW, quod demonstrandum erat.
Hoc Theorema etiam locum habet eodemque modo demonstratur in superficiebus rotundis genitis a rotatione lineae vel linearum quarumcunque figuram non comprehendentium.
Si super qualibet figura circa axem intelligatur cylindricus rectus, ita sectus a plano in duos truncos, vt planum per oppositarum cylindrici basium axes ductum, siat plano secanti normale; truncus vnus erit ad truncum alterum reciproce, vt partes radii rotationis resecta a centro grauitatis figura.
Svper qualibet figura LKM circa axem KN sit cylinricus rectus ABDMLK sectus in truncos ABDZY2, ZY2KLM, a plano ETVG ad planum ACNK, per oppositarum cylindrici basium axes AC, KN, ductum, normali: sint P, O, centra grauitatis basium oppositarum, quae iungantur recta PO. Producatur planum secans, donec axes AC, KN (si opus est) productis intersecet in punctis F, S; & in eosdem axes (si opus est) productos sint perpendiculares FI, SQ; manifestum est FISQ esse parallellogrammum rectangulum, item FI esse cylindrici altitudinem, & IS rotationis radium, quipipe a intersectionem plani secantis & baseos LKM nempe rectam TV est perpendicularis, quoniam ducitur in plano FQSI, quod vtrique plano & secanti & baseos LKM est normale. Dico truncum ABDZY 2 esse ad truncum 2YZMLK vt reciproce IO ad OS. a mediis punctis rectarum FI, QS, nempe H, R, ducantur rectae H S, R F necnon HR secans OP in X; erunt itaque inter se parallellae & aequles FI, PO, QS, item FQ, HR, IS, item FR, HS, Quoniam F R bifariam secat QS, bifariam quoque secabit in triangulo FQS omnes rectas ipsi QS aequidistantes; & prond bifariam secabit omnes diametros rectangulorum in trunco ABDZY2 a plano FI S Q normaliter secatorum; & ideo transibit per centra grauitatis omnium corundem rectangulorum, cumque ipse truncus cnfletur ex omnibus istis rectangulis; idcirco transibit etiam recta F R per centrum grauitatis ipsius trunci, hoc supponatur esse 3: eodem modo
demonstratur in HS esse centrum grauitatis trunci YZMLK2: cum ergo X medium punctum rectae OP sit centrum grauitatis torius cylindrici; si a 3 per X producatur recta 3X4 donec rectam HS intersecet in 4, erit centrum grauitatis trunci YZMLK: & quia triangula XR3, XH4, sunt similia propter parallellas RF, H , et vt X4 ad X3 ita XH ad XR, hoc est IO ad OS; sed vt X4 ad X3 ita truncus ABDZY2 truncum YZKMK2 ita reciproce IO ad OS, quod demonstrandum erat.
Et proinde componendo totus cylindricus ABDMLK est ad truncum inferiorem YXMLK2 vt radius rotationis IS ad distantiam inter centrum grauitatis figurae & axem rotationis eiusdem nempe OS.
Eisdem positis quae in antecedente; superficies trunci vnius est ad superficium trunci alterius reciprece, vt partes rady rotationis refectae a centro grauitatis perimetri figurae.
Eadem sit figura & praeparatio, quae in antecedente, hoc solum excepto, quod O, P, puncta nunc supponantur esse contra grauitatis perimetrorum basium oppositarum. Dico superficiem trunci ABDZY2 esse ad superficiem trunci 2YZMLK, vt reciproce IO ad OS. A mediis punctis rectarum FI, QS, nempe H, R, ducantur rectae HS, RF, necnon HR secans OP in X; erunt itaque inter se parallellae & aequales rectae FI, PO, QS, item FQ, HR, IS, item FR, HS. Quoniam F R bifatiam secat QS, bifariam quoque secabit in triangulo FQS omnes rectas ipsi QS aequidistantes, & proinde bifariam secabit omnes diametros rectanguorum in trunco ABDZY2 a plano FISQ normaliter secatorum; & ideo transibit per omnia centra grauitatis oppositorum laterum basi cylindrici perpendicularium vniuseuiusque ex illis rectangulis, quoniam in medio diametri est centrum grauitatis laterum oppositorum; cumq; ipsa trunci superficies constetur ex omnibus istis lateribus oppositis basi cylindrici perpendicularibus, idcirco transibit etiam recta FR per centrum grauitatis superficiei ipsius trunci, hoc supponatur 3: eodem modo demonstratur in H S esse centrum grauitatis superficiei trunci YZMLK2; cum ergo X medium punctum rectae OP sit centrum grauitatis totius superficiei cylindrici, si a 3 per X producatur recta 3X4 donec rectam HS intersecet in 4, erit 4 centrum grauitatis superficiei trunci YZMLK2: quia triangula XR3, XH4, sunt similia propter parallellas RF, HS, est vt X4 ad X3 ita XH ad XR, hoc est IO ad OS; sed vt X4 ad X3 ita superficies trunci ABDZY2 ad superficiem trunci YZMLK2; & proinde, vt superficies trunci ABDZY2 ad superficiem trunci YZMLK2, ita reciproce IO ad OS quod demonstrandum erat.
Et componendo tota superficies cylindrici ABDMLK est ad superficiem trunci inferioris YZMLK2 vt radius rotationis S ad interceptam inter centrum grauitatis perimetri figurae & axem rotationis eiusdem nempe OS.
Demonstrantur quoque haec eodem modo in truncis insistentibus lineae vel lineis quibuscunque figuram non comprehendentibus, si modo sint ad axem.
Duae praecedentes propositiones sunt etiam verae in omni cylindrico, sed intricata est constructio generali demonstrationi inseruiens, & ideo nostrum intentum alio modo euincemus.
Si sint dua figura quaecunque circa axes, quae sic rotentur vt axes rotationis sint figura vniuseuiusque axi normales; ratio vnius solidi orti ex tali rotatione ad aliud solidum ex eadem genitum, componitur ex ratione directa figura ad figuram; & ex ratione directa intercepta inter centrum gravitatis & axem rotationis vnius figura ad similem interceptiam alterius figurae.
Sint duae figurae quaecunque ABC, HIL, circa axes BF, IN, quae rotentur circa rectas EG, MO, axes figurarum (si opus est) productos BF, IN, normaliter secantes in punctis F, N, sintque figurarum ABC, HIL, centra gravitatis D, K. Dico rationem, solidi orti ex figura ABC rotata circa rectam EG ad solidum ortum ex figura HIL rotato circa rectam MD, componi ex ratione figurae ABC ad figuram HIL & ex ratione DF ad KN. Super figuris ABC, HIL, intelligantur cylindrici recti aequialti secti a planis transeuntibus per EG, MO, rectas, vnusquisque in duos truncos nempe superiotem & inferiorem. Ratio solidi ex ABC orti ad solidum ex HIL ortum, componitur ex ratione trunci inferioris cylindrici super ABC ad truncum inferiorem cylindrici super HIL, & ex ratione radii
rotationis figurae ABC ad radium rotationis figurae HIL; sed truncus inferior cylindrici super ABC est ad truncum inferiorem cylindrici super HIL in ratione composita, ex ratione trunci inferioris cylindrici super ABC ad totum cylindricum super ABC, ex ratione totius cylindrici super ABC ad totum cylindricum super H & ex ratione totius cylindrici super HIL ad truncum sui inferiorem: sed truncus inferior cylindrici super ABC est totum cylindricum, vt FD ad rotationis radium figurae AI ex consectario huius 29 conuertendo, & cylindricus supra ABC est ad cylindricum super HIL vt figura ABC ad figuram HIL, item cylindricus super HIL est ad truncum sui inferiorem vt radius rotationis figurae HIL ad KN, ex consectario huius 29; & proinde ratio trunci inferioris cylindrici super ABC ad truncum inferiorem cylindric super HIL componitur ex ratione rectae DF ad rotationis radium figurae BC, ex ratione figurae ABC, ad figuram HIL, & ex ratione radii rotationis figurae HIL ad rectam KN: & ideo ratio solidi orti ex rotatione figurae ABC ad solidum ortum ex rotatione figurae HIL componitur, ex ratione figurae ABC figuram HIL, ex ratione rectae DF ad radium rotationis figurae ABC, ex ratione radii rotationis figurae ABC ad radii rotationis figurae HIL, & ex ratione radii rotationis figurae HIL ad rectam KN: sed tres postremae rationes componum rationem DF ad KN; & igitur ratio solidi orti ex rotatio figurae ABC circa EG solidum ortum ex rotatione figurae HIL circa MO componitur ex ratione figurae ABC ad figuram HIL, & ex ratione interceptae inter centrum gravitatae figurae ABC & eius axem rotationis, nempe DF, ad interceptam inter centrum gravitatis figurae HIL & eiusdem axem rotationis, nempe KN, quod demonstrare oportuit.
Eisdem positis, quae in antecedente; ratio, superficiei vnius solidi orti ex tali rotatione ad superficiem alterius solidi ex eadem niti, componitur ex ratione directa per imetrorum figurarum ex ratione directa interceptarum inter centra gravitatis perimetrorum & axes rotationis.
Eaedem sint figurae& praeparatio quae in antecedente, hoc solum excepto, quod D, K, puncta nunc supponantur esse centra gravitatis perimetrorum figurarum. Dico rationem superficiei solidi orti ex figura ABC rotata circa rectam EG ad superficiem solidi orti ex figura HIL rotata circa rectam MO, componi ex ratione perimetri ABC ad perimetrum HIL & ex ratione DF ad KN. Super figuris ABC, HIL, intelligantur cylindrici recti aequialti, secti a planis transuentibus per EG, MO, rectas, vnusquisque in duos truncos, nempe superiorem & inferiorem. Ratio superficiei solidi ex ABC orti ad superficiem solid ex HIL orti, componitur ex ratione superficie trunci inferioris cylindrici super ABC ad superficiem trunci inferioris cylindrici super HIL, & ex ratione radii rotationis figurae ABC ad radium rotationis figurae HIL; sed superficies trunci inferioris cylindrici super ABC est ad superficiem trunci inferioris cylindrici super HIL in ratione composita, ex ratione superficiei trunci inferiosis cylindrici super ABC ad totam superficiem cylindrici super ABC, ex ratione totius superficiei cylindrici super ABC ad totam superficiem cylindrici super HIL & ex ratione totius superficiei cylindrici super HIL ad superficiem trunci sui inferioris: sed superficies trunci inferioris cylindrici super ABC est ad totam superficiem cylindrici vt FD ad rotationis radium figurae ABC ex consectario huius 30 conuertendo, & superficies cylindrici super ABC est ad superficiem cylindrici super HIL, vt perimeter ABC ad perimetrum HIL, item superficies cylindrici super HIL est ad superficiem sui trunci inferioris vt radius rotationis figurae HIL ad KN; & proinde ratio superficiei trunci inferioris cylindrici super ABC ad superficiem trunci inferioris cylindici super HIL componitur, ex ratione perimetri ABC ad perimetrum HIL & ex ratione radii rotationis figurae HIL ad rectam KN; & ideo ratio superficiei solidi orti ex rotatione figurae ABC ad superficiem solidi orti ex rotatione figurae IL componitur, ex ratione perimetri ABC ad perimetrum IL, ex ratione rectae DF ad radium rotationis figurae ABC ex ratione radii rotationis figurae ABC ad radium rotationis figurae HIL, & ex ratione radii rotationis figurae HIL ad rectam KN; sed tres postremae rationes componunt ratione DF ad KN; & igitur ratio superficiei solidi orti ex rotatione figurae ABC circa EG ad superficiem solidi orti ex rotation figurae HIL circa MO componitur ex rotatione perimetri ABC ad perimetrum HIL & ex ratione interceptae inter centrum gravitatis perimetri ABC & eius axem rotationis, nempe DF ad interceptam inter centrum gravitatis perimetri HIL & eiusdem axem rotationis, nempe KN, quod demonstrandum erat.
Haec quoque locum habent, eodemque modo demonstrantur in superficiebus rotundis genitis a rotatione lineae ve linearum quarumcunque figuram non comprehendentium & ad axem existentium.
Si sint duae figurae quaecunque, quae rotentur circa axes quoscunque ratio vnius solidi orti ex tali rotatione ad solidum alterum ex eadem genitum, componetur ex directa ratione figurae ad figuram; & ex directa ratione interceptae inter centrum gravitatis & axem rotationis vnius figurae ad similem interceptam alterius figurae.
Sint duae figurae quaecunque ABC, NQP, quae rotentur circa rectas EF, Y4: sintque earum contra gravitatis D, R, e quibus in axes rotationis EF, Y4, demittantur rectae perpendiculares DG, RZ. dico rationem solidi orti ex figura ABC rotata circa rectam EF ad solidum ortum ex figura NQP rotata circa rectam Y4 componi ex ratione figurae ABC, ad figuram NQP, & ex ratione DG ad RZ. Parallellae rectis DG, RZ, ducantur rectae BH, Q2, figuras ABC, NOP, tangentes in B, Q: & circa rectas BH, Q2, sicut axes, concipiantur reuolui figurae ABC, QNP, donec ex altera axium parte planum attingentes, efficiant figuras BLM, QTX, sibi ipsis aequales, similes, & ad rectas BH, EF; Q2, Y4, eandem prorsus positionem habentes: sint figurarum BLM, QTX, centra gravitatis, O, V; ducantur in rectas EF, Y4, perpendiculares OI, V3, iungantur quoque rectae DO, RV, rectas BH, Q2, intersecantes inpunctis K, S: manifestum est punctum K esse centrum
gravitatis integrae figurae BACBLM circa axem BH, item punctum S esse centrum gravitatis figurae integrae QNPQTX circa axem Q2; patet quoque rectas DG, KH, OI; item RZ, S2, V3, esse inter se aequales. Quoniam figurae BACBLM, QNPQTX sunt circa axes BH, Q2, axibus rotationis EF, Y4, normales; igitur solidum rotundum ortum ex rotatione figurae BACBLM circa rectam EF est ad solidum rotundum ortum ex rotatione figurae QNPQTX in ratione composita ex ratione figurae BACBLM ad figuram QNPQTX & ex ratione KH ad S2 per huius 3I; sed solidum ortum ex figura BACBLM rotata circa EF est duplum solidi orti ex figura BAC circa eandem EF rotata; item solidum ortum ex figura QNPQTX rotata circa rectam Y4 est duplum solidi orti ex figura QNP rotata circa eandem Y4; figura quoque BACBLM dupla est figurae BAC, & figura QNPQTX figurae QNP; cumque dimidia sint in eadem ratione cum suis duplis; solidum rotundum ortum ex figura ABC rotata circa rectam EF erit ad solidum rotundum ortum ex figura NQP rotata circa rectam Y4 in ratione composita ex ratione figurae ABC ad figuram NQP & ex ratione KH ad S2, sue DG ad RZ, quod demonstrare oportuit.
Sint sequitur, si centra gravitatis figurarum a rotationis axibus aequaliter distent, solida rotunda ex figurarum rotatione genita esse in directa ratione ipsarum figurarum, quod si figurae ipsae sint aequales, sequitur solida rotunda ex earum rotatione genita esse in ratione directa interceptarum inter centra gravitatis & rotationis axes: quod si interceptae sint aequales & figurae, etiamsi inter se diffimillimae, solida rotunda ex illis orta aequalia erunt.
Ex dictis manifestum est inter duas quascunque figuras tres esse rationes, nempe; figurae ad figuram, solidi rotundi ex rotatione vnius figurae geniti, ad solidum rotundum ex rotatione alterius figurae genitum, & interceptae inter centrum gravitatis & axem rotationis vnius figurae ad similem interceptam alterius figurae, e quibus duas datas tertiam ignotam semper patefacere.
Si sint duae figurae quaecunque, quae rotentur circa axes quoscunque; ratio superficiei vnius slidi orti ex tali rotationie ad superficiem alterius solidi ex eadem geniti, componitur ex directa ratione perimetri ad perimetrum & ex directa ratione interceptae inter centrum gravitatis perimetri & axem rotationis figurae ad similem interceptam alterius figurae.
Sint duae figurae quae cunque ABC, NQP, quae rotentur circa rectas EF, Y4; sintque contra gravitatis perimetrorum D, R, a quibus in axes rotationis EF, Y4, demittantur rectae perpendiculares DG, RZ. dico rationem superficiei solidi orti ex figura ABC rotata circa rectam EF ad superficiem solidi orti ex figura NQP rotata circa rectam Y4 componi, ex ratione perimetri ABC ad perimetrum NQP & ex ratione DG ad RZ. parallellae rectis DG, RZ, ducantur rectae BH, Q2, figuras ABC, NQP, tangentes in B, Q; & circa BH, Q2, sicut axes concipiantur reuolvi figurae ABC, QNP, donec ex altera axium parte in idem planum reuolutae figuras efficiant BLM, QTX, sibi ipsis aequales, similes, & ad rectas BH, EF; Q2, Y4, eandem omnino positionem habentes. Sint perimetrorum BLM, QTX, centra gravitatis O, V; ducantur in rectas EF, Y4, perpendiculares OI, V3; iungantur rectae DO, RV, rectas BH, Q2, intersecantes in punctis K, S; manifestum est punctum K esse centrum gravitatis integri perimetri BACBLM; estque figura BACBLM circa axem BH, eodem modo punctum S est centrum gravitatis integri perimetri figurae QNPQTX circa axem Q2; patet quoque rectas DGKH, OI, item RZ, S2, V3, esse inter se aequales. quoniam figura BACBLM, QNPQTX, sunt circa axes BH, Q2, axibus rotationis EF, Y4, normales; igitur superficies solidi rotundi orti ex rotatione figurae BACBLM circa rectam EF est ad solidi rotundi superficiem orti ex rotatione figurae QNPQTX in ratione composita ex ratione perimetri BACBLM ad perimetrum QNPQTX & ex ratione KH ad S2; sed superficies solidi orti ex figura BACBLM rotata circa EF est dupla superficiei solidi orti ex figura BAC rotata circa eandem EF, item superficies solidi rotundi orti ex figurae QNPQTX rotata circa rectam Y4 est dupla superficiei solidi orti ex figura QNP rotata circa eandem Y4; perimetrum quoque BACBLM duplum est perimetri BAC, & perimetrum QNPQTX perimetri QNP (hoc est si figura se inuicem tangant in puncto solummodo; quod si se tetigerint in recta linea, oportet imaginari aliquam distantiolam inter figurarum vniones, vt generalis fiat demonstratio) cumque dimidia sint in eadem ratione cum suis duplis, superficies solidi rotundi orti ex figura ABC rotata circa rectam EF erit ad superficiem solidi rotundi orti ex figura NQP rotata circa rectam Y4 in ratione composita, ex ratione perimetri ABC ad perimetrum NQP & ex ratione KH ad S2 seu DG ad RZ, quod demonstrare oportuit.
Hinc sequitur, si centra gravitatis perimetrorum a rotationis axibus aequaliter distent, superficies solidorum rotundorum ex rotatione genitorum esse in directa a ratione ipsorum perimetrorum, quod si ipsa perimetra sint aequalia, superficies solidorum rotundorum ex rotatione genitorum esse in ratione directa interceptorum inter centra gravitatis perimetrorum & rotationis axes, quod si interceptae sint aequales & perimetra aequalia, superficies solidorum rotundorum semper esse aequales.
Ex dictis ergo manifestum est inter duas quascunque figuras tres alias esse rationes a tribus praecedentibus diuersas, nempe perimetri ad perimetrum, superficiei solidi rotundi ex rotatione vnius figurae geniti ad superficiem solidi rotundi ex rotatione alterius figurae geniti, & interceptae inter centrum gravitatis perimetri & axem rotationis vnius figurae similem interceptam alterius figurae, e quibus duas datas tertiam ignotam semper patefacere.
Eodem modo demonstrantur haec omnia vniuersaliter in omnibus, linea, vel lineis figuram non comprehendentibus, ita vt omnium demonstrationum geometricarum hae sint maxime vniuersales.
Ciune solidum rotundum aequale est cylindrico rectae cuius basis est figura ex cuius rotatione gignitur solidum & altitudo circumferentia circuli in quae circumuoluitur centrum gravitatis figurae.
Sit figura quaecunque AB cuius gravitatis centrum C; ex figurae AB rotatione circa rectam DF fiat solidum rotundum, quod dico esse aequale cylindrico cuius basis AB figura & altitudo circumferentia circuli, in qua circumrotatur centrum gravitatis C. Sit rectangulum HGKI cuius centrum
gravitatis L; ex rotatione rectanguli HGKI circa latus HI concipiatur fieri cylindrus, & ex gravitatum centris C, L, in rotationis axes DF, HI, demittantur perpendiculares rectae CE, LO, quae sunt rotationis radii: manifestum est cylindrum genitum ex rotatione rectanguli HK circa HI aequalem esse solido cuius basis est circulus ex radio IK & altitudo HI, hoc est solido cuius basis est rectangulum ex IK in semicircumferentiam circuli ex radio IK vel totam circumferentiam ex radio OL & altitudo HI, quod idem circum solido cuius basis est rectangulum HK & altitudo circumferentia circuli ex radio OL; sed cylindrus ex rotatione HK circa HI est ad solidum rotundum ex rotatione AB circa DF in ratione composita ex proportione figurae HK ad figuram AB & rectae OL ad rectam EC seu circumferentia radii OL ad circumferentiam radii EC, atque solidum cuius basis HK & altitudo circumferentia radii OL, seu cylindrus genitus ex rotatione figurae HK circa HI, est ad solidum cuius basis AB & altitudo circumferentia radii EC in eadem ratione; & ideo cylinrus ex rotatione figurae HK circal DF vt idem praedictus cylindrus ad solidum cuius basis AB & altitudo circumferentia circuli ex radio EC; & proinde solidum rotundum ex rotatione figurae AB circa DF aequale est cylindrico cuius basis AB & altitudo circumferentia radii EC quod demonstrare oportuit.
Omnis solidi rotundi superficies aequalis est rectangulo cuius basis est perimeter figurae ex cuius rotatione gignitur solidum & altitudo circumferentia in quae circumfertur centrum gravitatis perimetri figurae.
Eisdem positis quae in antecedente, sint centra gravitatis perimetrorum figurarum HK, AB, puncta L, C; dico superficiem solidi rotundi orti ex rotatione figurae AB circa DF esse aequalem rectangulo cuius basis est perimeter figurae AB & altitudo circumferentia radii EC manifestum est superficiem cylindri geniti ex rotatione rectanguli HK circa HI aequalem esse rectangulo cuius basis est circumferentia radii IK & altitudo GK vna cum IK, hoc est rectangulo cuius basis cicumferentia radii OL & altitudo totus figurae ambitus HG + GK + KI + IH, quod idem est cum rectangulo cuius basis est rectanguli HK ambitus & altitudo circumferentia radii OL; sed superficies cylindri geniti ex rotatione rectanguli HK circa HI est ad superficiem solidi rotundi geniti ex figurae AB rotatione circa DF in ratione compositur ex proportione ambitus figurae HK ad ambitum figurae AB & ex proportione rectae OL ad rectam EC seu circumferentia radii OL, ad circumferentiam radii EC; at que rectangulum cuius basis est ambitus figurae HK & altitudo circumferentia radii OL sue superficies cylindri geniti ex rotatione rectanguli HK circa HI, est ad rectangulum cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo circumferentia radii EC in eadem ratione; & ideo superficies cylindri geniti ex rotatione rectanguli HK circa HI est ad rectangulum, cuius basis est ambitus figurae altitudo circumferentia radii EC, vt idem superficies ad superficiem solidi rotundi geniti ex rotatione figurae AB circa axem rotationis DF; & proinde superficies solidi rotundi orti ex rotatione figurae AB circa DF aequalis est rectangulo cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo circumferentia radii EC, quod demonstrare oportuit.
Non diffimili fere methodo demonstratur haec propositio, etiam si perimeter figurae non sit clausus.
Si cylindricus rectus secetur plano ad basem seminormali; truncus inferior aequalis erit cylindrico cuius basis eadem est cum cylindrici propositi base, & altitudo, intercepta recta inter centrum gravitatis baseos & communem intersectionem baseos & plani secantis.
Sint eaedem figurae, quae in antecedente: super figura AB (cuius gravitatis centrum C) concipiatur cylindricus rectus Sectus a plano basem AB seminormaliter secante in recta DF: dico truncum eius inferiorem aequale esse cylindrico super base AB habenti altitudinem EC. Solidum rotundum ortum ex rotatione figurae AB circa recta DF aequale est cylindrico cuius basis AB & altitudo circumferentia radij EC; atque idem solidum rotundum est ad truncum inferiorem cylindrici recti super AB resectam plano basem AB seminormaliter secante in recta DF ut circumferentia radij CE ad radium CE; sed cylindricus cuius basis AB & altitudo circumferentia radii CE seu praedictum solidum rotundum est ad cylindricum cuius basis AB & altitudo EC, vt circumferentia radii EC ad EC; & proinde truncus ille inferior resectus aequalis est cylindrico cuius basis AB & altitudo EC, quod demonstrare oportuit.
Si cylindricus rectus secetur plano ad basem seminormali; superficies trunci inferiors aequalis erit rectangulo, cuius basis est perimeter baseos cylindrici & atitudo intercepta recta inter centrum gravitatis Perimetri baseos & communem intersectiones baseos & plani secantis.
Eisdem positis quae in antecedente, sit C centrum gravitatis perimetri baseos AB. Dico superficiem trunci inferioris aequalem esse rectangulo cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo recta EC. Superficies solidi rotundi geniti ex rotaione figurae AB circa DF aequalis est rectangulo cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo circumferentia radii EC; atque eadem superficies solidi rotundi est ad superficiem trunci inferioris cylindrici recti super AB resecti a plano basem AB seminormaliter secante in recta DF, vt circumferentia radii CE ad CE; sed rectangulum cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo circumferentia radii EC seu superficies solidi rotundi geniti ex rotatione figurae AB circa DF est ad rectangulum cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo EC, vt circumferentia radii EC ad EC; & proinde superficies trunci inferioris resecti aequalis est rectangulo cuius basis est ambitus figurae AB & altitudo EC, quod demonstrare oportuit.
Eodem modo demonstratur haec propositio, si superficies cylindrici recti insistat recti lineae vel lineis perimetrum non claudentibus.
In duabus praecendentibus eisdem mediisdemonstratur, quomodocunque secetur cylindricus, in prima, truncum inferiorem esse aequale cylindrico eandem cum proposito basem habenti & altitudinem aequalem perpendiculari rectae ad basem ex eius gravitatis centro excitatae vsque ad planum secans, & secunda, superficiem trunci inferioris esse aequalem rectangulo basem habenti aequalem perimetro baseos cylindrici propositi & altitudinem aequalem perpendiculari rectae ad basem cylindrici propositi ex centro gravitatis eius perimetri excitatae vsque ad planum secans.
Si cylindricus rectus, habens basem ab vna parte a recta terminatam, secetur plano peri illam rectam, & rotetur basis cylindrici circa eandem rectam, vt fiat solidi rotundi portio quaelibet; erit portionis centrum gravitatis idem cum centro gravitatis arcus circularis, in quo circumfertur centrum aequilibrii trunci cylindrici inferioris in cylindrici base notatum.
Sit super figura ABC ex vna parte a recta BG terminate cylindricus rectus, qui sectus a plano transeunte per rectam BC exhibeat truncum suum inferiorem BCAG, cuius centrum aequlibrii in base sit E. Ex rotatione figurae ABC circa rectam BC fiat portio solidi rotundi: dico portionis centrum gravitatis idem esse cum centro gravitatis arcus circularis in quo circumrotatur punctum E: si non sint eadem inter illa sit distantia recta aba; & concipiatur portioni solidi rotundi circumscribi solidum polyedrum constans ex 2 vel 4 vel I6, 32, & vel quotcunque (dummodo numerus sit in progressione dupla a binario) aequalibus truncis inserioribus cylindrici propositi recti secti a plano habente communem intersectionem cum base rectam BC, & eidem portioni solidi rotundi inscribi aliud polyedrum priori simile, ita vt earum centra gravitatis distent interuallo minore qum recti aba; hoc enim possibile est, quoniam talia polyedra quo plure habent latera, eo in infinitum portioni sunt propiora: deinde per centrum aequilibrii E recta BC normale ducatur planum faciens cum trunco communem intersectionem triangulum HFD rectangulum ad F, item cum portione solidi rotundi communem intersectionem sectorem circuli IVLO, cum polyedro circumscripto polygoni regularis ad sectorem circumscripti, item cum polyedro inscripto simile portionem polygoni regularis sectori eidem inscripti. Manifestum est radium IV esse aequalem recta DF. Radio IY aequali rectae DE sit sector circuli IY9 & sectori IY9 circumscribatur polygonum TS8 simile polygono KMN, item eadem inscribatur polygonum bbb79 circumscripto simile. Ducatur recta IL quatuorlatera similium polygonorum 7Y, ST, PV, MK, bifariam secans in punctis Y, R, Q, L; manifestum est triangulum ILK rectangulum ad L esse communem sectionem plani secantis cum vno aequalium truncorum e quibus constat polyedrum portioni solidi rotundi cicumscriptum; quem truncum supponamus esse eadem cum trunco ABCG (quod fine absurdo efficere poffumus, quoniam omnes trunci inferiores, quorum plana secantia basem secanin recta BC, idem habent in base centrum aequilibrii E) & proinde patet trunci, communem habentis cum plano secante intersectionem LIK, centrum aequilibrii in base esse punctum R; eodemque modo probatur R esse in base centrum aequilibrii trunci, ciuis intersectio cum plano secante est MIL; & ideo horum truncorum simul
iunctorum centrum gravitatis est R punctum: eodem modo probatur in duobus quibuslibet truncis totius polyedri circumscripti ad vnam superficiem iunctis, vtriusque simul trunci centrum gravitatis esse in puncto, vbirecta ex vertice I basem trianguli (quod triangulum est communis sectio plani secantis cum duobus iunctis truncis ) bifariam secans, arcum circularem 9bbb intersecat: facili quoque negotio probatur punctum Y esse centrum gravitatis duorum truncorum iunctorum, quorum cum plano secante communis intersectio PIV triangulum; item & punctum X esse centrum gravitatis duorum iunctorum truncorum, quorum cum plano secante communis intersectio acaIP triangulum: iungatur XY, quae bifariam secatur in puncto 5; manifestum est punctum 5 esse centrum gravitatis quatuor iunctorum truncorum simul, quorum cum plano secante communis intersectio est trapeziur IVPaca; atque punctum 5 centrum etiam trapezium IVPaca; atque punctum 5 centrum etiam est gravitatis rectarum 27, 7aba, simul: eodem modo probatur a esse centrum gravitatis quatuor iunctorum truncorum simul, quorum cum plano secante communis intersectio est trapezium IacacccO, & etiam rectarum 9v, vZ, simul. Centra gravitatis a5 iungantur recta, quae bifariam secetur a recta IZ in puncto 3; manifestum est 3 centrum gravitatis polyedri inscripti esse etiam centrum gravitatis rectarum omnium simul arcui 9rrr inscriptarum: eodem modo probatur entrum gravitatis polyedri circumscripti nempe I idem esse cum centro gravitatis omnium rectarum simul arcui 9rrr circumscriptarum. Sit centrum gravitatis portionis solidi rotundi 4, & centrum gravitatis arcus 9rrr, 2, quod necessario est in recta IZ inter puncta I, 3; iungantur rectae I4, 24, 34. Ex constructione I3 minor est quam 24: angulorum I24, 423, sit maior vel faltem non minor I24, & ideo latus I4 maius erit latere 24, sed 24 maior est quam I3; & proinde I4 maior est quam I3; hoc est, centrum gravitatis portionis solidi rotundi distat a centro gravitatis polyedri sibi circumscripti maiore interuallo quam centrum gravitatis eiusdem polyedri circumscripti distat a centro gravitatis similis polyedri inscripti, quod est absurdum, maiore enim interuallo distant centra gravitatis polyedrorum inscripti & circumscripti quam distant centra gravitatis portionis solidi rotundi & polyedri circumscripti; & proinde nullo interuallo distant centra gravitatis portionis solidi rotundi & arcus circularis 9rrr, & ideo idem est eorum centrum gravitatis, quod demonstrare oportuit.
Notandum in sequentibus nos semper intelligere superficiem portionis solidi rotundi absque planis quibus terminatur.
Eisdem positis quae in antecedente, erit superficiei portionis solidi rotundi centrum gravitatis idem cum centro gravitatis arcus circularis, in quo circumfertur centrum aequilibry superficiei trunci cylindrici inferioris in cylindrici base notatum.
Eisdem positis quae in antecedente, sit superficiei trunci BCAG centrum aequilibrii in base E. Dico superficiei portionis solidi rotundi centrum gravitatis idem esse cum centro gravitatis arcus circularis in quo circumrotatur punctum E: si non sint eadem, inter illa sit differentia recta aba; & concipiatur portioni solidi rotundi circumscribi solidum polyedrum constans ex 2, 4, 8, I6 vel quotcunque (dummodo numerus sit in progrestione dupla a binario) aequalibus truncis inferioribus cylindrici propositi recti secti a plano habente communem secionem cum base rectam BC, & eidem portioni solidi rotundi inscribi aliud polyedrum priori simile, ita vt centra gravitatis eorum superficierum distent miaore interuallo quam aba; hoc enim possibile est, quoniam talia polyedra quo plura habent latera eo in infinitum eorum superficies minus inter se discrepant, ita vt eorum differentia minor possit esse quacunque proposita quantitate. Deinde per centrum aequilibrii E rectae BC normale ducatur planum faciens cum trunco ABCG communem sectionem triangularum HFD rectangulum ad F, item cum portione solidi rotundi communem sectionem, fectorem circuli IVLO & cum polyedro circumscripto portionem polygoni regularis ad sectorem circumscripti, item cum polyedro inscripto similem portionem polygoni regularis sectori eidem inscripti. Manifestum est radium IV esse aequalem rectae DF: radio Irrr aequali rectae DE sit sector circuli Irrr9, sect ori Irrr9 circumscribatur polygonum TS8I simile polygono IKMN, item eidem inscribatur polygonum Irrr79 circumscripto simile. Ducatur rectae IL latera quatuor parallela similium polygonorum 7rrr, ST PV, MK, bifariam dividens in punctis Y, R, Q, L; manifestum est triangulum ILK rectangulum ad L esse commune sectionem plani secantis cum vno aequalium truncorum ex quibus constat polyedrum portioni solidi rotundi cicumscriptum quem truncum supponamus esse eandem cum trunco ABCG (quod sine absurdo efficere possumus, quoniam omnes tricorum inferiorum superficies, quorum plana secantia base secant in recta BC, idem habent in base centrum aequilibri E) & proinde patet superficiei trunci, communem habent cum plano secante intersectionem LIK, centrum aequilibri in base esse punctum R; eodemque modo probatur punctum R esse in base centrum aequilibrii superficiei trunci, cuius intersectio cum plano secante est MIL, & ideo horum truncorum simul iunctorum superficiei centrum gravitatis est in eodem modo probatur in duobus quibuslibet truncis toti polyedri circumscripti ad vnam superficiem iunctis vtriumque simul superficiei centrum gravitatis esse in puncto, vt recta ex vertice I basem trianguli (quod triangulum est communis sectio plani secantis cum duobus iunctis truncis) bifarium secans, arcum circularem 9rrr intersecat: facili quoque negotio probatur punctum Y esse centrum gravitatis superficiei duorum iunctorum truncorum, quorum cum plano secante communis intersectio IPV; item & punctum esse centrum gravitatis superficiei duorum iunctorum truncorum, quorum cum plano secante communis intersectio IP triangulum: iungatur recta XY, quae bifariam secatur puncto 5; manifestum est punctum 5 esse centrum gravitatis superficiei quatuor iunctorum truncorum simul, quorum plano secante communis intersectio est trapezium IVPaca; que punctum 5 centrum etiam est gravitatis rectarum Z7rrr?, simul: eodem modo probatur a centrum gravitatis rectarum 97, 7Z, esse centrum gravitatis superficiei quatuor iunctorum truncorum simul, quorum cum plano secante communis intersectio est trapezium IacacccO. Centra gravitatis a, 3, iungantur recta a5, quae bifariam secetur in 3. manifestum est 3 centrum gravitatis superficiei polyedri inscripti esse etiam centrum gravitatis rectarum omnium simul arcui 9rrr inscriptorum. eodem modo probatur centrum gravitatis superficiei polyedri circumscripti nempe I idem esse cum centro gravitatis omnium rectarum arcui 9rrr circumscriptorum. Sit centrum gravitatis superficiei portionis solidi rotundi 4 & centrum gravitatis arcus 9rrr, 2, quod necessario est in recta IZ inter puncta I, 3; iungantur rectae I4, 24, 3: & constructione I3, minor est quam 24: angulorum I24, 423, sit maior vel saltem non minor I24, & ideo latus I4 maius est latere 24, sed 24 maior est quam I3, & pronde I4 maior est quam I3, hoc est, centrum gravitatis superficiei portionis solidi rotundi distat a centro gravitatis superficiei polyedri sibi circumscripti maiore interuallo quam centrum gravitatis superficiei eiusdem polyedri circumscripti distat a centro gravitatis superficiei similis polyedri inscripti, quod est absurdum, maiore enim interuallo distant centra gravitatis superficierum polyedrorum inscripti & circumscripti, quam distat centrum gravitatis superficiei portionis solidi rotundi a centro gravitatis superficiei polyedri siue inscripti siue circumscripti; & proinde nullo interuallo distant centra gravitatis superficiei portionis solidi rotundi & arcus 9rrr, & ideo idem est eorum centrum gravitatis, quod demonstrandum erat.
Eodem modo demonstratur haec propositio de superficie quacunque rotunda facta a rotatione vnius lineae vel plurium linearum circa axem; modo radius rotationis ilas non secet in pluribus punctis.Si cylindricus rectus secetar plano quocunque & rotetur basis cylindrici circa communem intersectionem baseos & plani secantis, vt fiat solidi rotundi portio quaelibet; erit portionis centrum gravitatis idem cum centro gravitatis arcus circularis, in quo circumfertur centrum aequilibrii trunci cylindrici inferioris in cylindrici base notatum.
Concipiatur cylindricus rectus super base quaecunque KECD sectus a plano habente cum base communem intersectionem AB rectam: sit que trunci inferioris centrum aequilibrii in base notatum punctum F. ex rotatione figure KECD circa rectam AB fiat portio solidi rotundi; cuius centrum gravitatis dico idem esse cum centro gravitatis arcus circularis in quo circumfertur punctum F. iungantur ad libitum lineae CA, KB, supponaturque
cylindricus rectus super base ACDKB secari etiam a praedicto plano secante per rectam AB, & eius trunci inferioris centrum aequilibrii in base esse punctum H, item trunci super figura ACEKB centrum aequilibrii in base esse punctum G. ex rotatione figurae ACDKB circa rectam AB (ita ut eius pars extrema, nempe figura CDKE, describat praedicti solidi rotundi portionem) fiat solidi rotundi portio, cuius centrum gravitatis M; manifestum est solidi rotundi portionem genitam a rotatione figurae ACDKB esse aequalem portionibus, solidi rotundi genitae a rotatione figurae CDKE (cuius centrum gravitatis L) & solidi rotundi genitae a rotatione figurae ACEKB (cuius centrum gravitatis N) item truncum super figura ACDKB aequalem esse truncis super figuris CDKE, ACEKB; & proinde patet puncta F, H, G, esse in vna recta, item FH esse ad HG ut truncus super ACEKB ad truncum super CDKE, item puncta L, M, N, esse in vna recta, & LM esse ad MN vt portio solidi rotundi geniti a figura ACEKB ad portionem solidi rotundi geniti a figura CDKE; sed portiones solidorum rotundorum inter se sunt in directa ratione truncorum, vt facile colligitur ex huius 23; & ideo vt FH ad HG ita LM ad MN. per puncta F, L, sit recta FLO, & per puncta H, M, recta HMP, item per puncta GN, sit recta GNQ; satis patet rectus HMP, GNQ cum sint radii circulorum, in quorum circumferentiis rotantur puncta H, G, 9 & ideo rectam etiam FLO esse inter se parallelas & rectae AB normales, & ideo vt PM ad PH vel QN ad QG ita OL ad OF; sed M, N, sunt centra gravitatis arcuum circulariam similium in quibus rotantur puncta H, G, circa centra P, Q; & ideo L est etiam centrum gravitatis similis arcus circularis in quo rotatur punctum F circa centrum O, atque L est etiam centrum gravitatis portionis solidi rotundi geniti ex rotatione figurae CDKE circa rectam AB, quod demonstrare oportuit.
Si lineae vel lineae quotcunque rotentur circa rectam, vt ex iis generetur portio superficiei rotundae, etiamsi radius rotationis illas in quotcunque punctis secuerit; erit portionis superficiei rotundae centrum gravitatis idem cum centro gravitatis arcus circularis in quo circumfertur centrum aequilibry in base notatum superficiei trunci cylindrici recti sect a plano babente communem sectionem cum base axem rotationis.
Sit linea, vel lineae quotcunque ABO, quae supponantus rotari circa axem IK, secetnurque in duobus punctis ex radio rotationis. Super lineis ABO imaginetur superficiem cylindrica ad basem recta, quae secetur a plano basem etiam secante in recta IK; sitque superficiei trunci inferioris centrum
aequilibrii in base E. ex rotatione linearum ABO fiat portio superficiei rotunda; cuius centrum gravitatis F dico esse idem cum centro gravitatis arcus circularis in quo rotatur punctum E. sit B punctum in quo radius rotationis lineas ALO tangit, sitque portionis superficiei trunci super linea vel lineis AB centrum aequilibrii in base C, & portionis superficiei rotundae ex AB genitae D; sitque superficiei trunci super OB centrum aequilibrii in base G, & portionis superficiei rotundae ex ea genitae centrum gravitatis H. manifestum est puncta C, E, G, esse in eadem recta, item & CE esse ad EG ut superficieis trunci super OB ad superficiem trunci super AB: eodem modo patet puncta D, F, II, esse in eadem recta, item DF esse ad FH vt portio superficiei rotundae genitae ex OB ad portionem superficiei rotundae genitae ex AB; sed portiones superficierum rotundarum inter se sunt in directa proportione superficierum truncorum ut colligitur ex huius 24; ideo vt CE ad EG ita DF ad FH. producantur rectae CD, EF, GH, donec rectam IK secent in punctis L, M, N; cum puncta D, H, sint centra gravitatis arcuum circularium in quibus rotantur puncta C, G, manifestum est rectas CDL, GHN, esse axi rotationis IK normales & inter se parallellas; & ideo recta EFM eidem IK est est normalis, cum sit vt CE ad EG ita DF ad FH; & proinde ut LD ad LC vel NH ad NG ita MF ad ME, sed D, H, sunt centra gravitatis arcuum circularium similium in quibus rotantur puncta C, G; & igitur punctum F est etiam centrum gravitatis similis arcus circularis in quo rotatur punctum E, quod demonstrandum erat.
Eodem modo demonstratur hoc theorema quando radius rotationis lineas secat in tribus punctis supponendo hanc propositionem, sicut haec supponit huius 40 & sic deindceps (quando secatur linea in pluribus punctis) anteriores demonstrationes semper supponendo.
Eisdem positis quae in huius 6; dico solidum rotundum genitum ex rotatione figurae ABSO circa rectam AB esse ad cylindrum genitum ex rotatione rectanguli ABRO circa eandem AB, vt superficies genita ex rotatione curvae AQ circa eandem AB ad circulum ex radio AO. figura ABSO est proportionaliter analoga curvae AQ, & ideo centra gravitatis figurae ABSO & curvae AQ eodem interuallo distant a recta AB, quod interuallum sit K centra quoque gravitatis rectae AO & rectanguli ABRO eodem interuallo distant a recta AB nempe BR/2, at que figura ABSO est ad rectangulum ABRO vt curva AQ ad rectam AO, & ideo primam & tertiam ducenda in circumferentiam cuius radius K, & secundam & quartam in circumferentiam cuius radius BR/2; erit cylindricus cuius basis ABSO & altitudo cicumferentia ex radio K nempe solidum rotundum genitum ex rotatione figurae ABSO circa AB, ad cylindricum cuius basis ABRO & altitudo circumferentia radii BR/2 nempe cylindrum genitum ex rotatione ABRO circa AB, sicut rectangulum cuius basis AQ & altitudo circumferentia radii K nempe superficies genita ex rotatione AQ circa AB, ad rectangulum cuius basis AO & altitudo circumferentia radii BR/2 nempe circulum ex radio AO, quod demonstrare oportuit.
Sit figura quaecunque BCE cum rectangulo circumscripto ABED, quae si librentur ex recta BE; dico momentum rectanguli ABED ad momentum figurae BCE esse ut cylindrus factus ex revolutione rectanguli ABED circa BE ad solidum rotundum factum ex revolutione BCE circa eandem BE. Sit rectae AB parallela & aequalis quaecunque FH figuram BCE secans in G: bisecentur rectae FH, GH, in punctis O, P; manifestum est momentum rectae FH esse ad momentum rectae GH in ratione composita ex ratione FH ad GH & ex ratione OH ad PH, hoc est in duplicata ratione FH ad GH seu ut circulus ex radio FH ad circulum ex radio GH, cumque hoc semper ita eveniat, & primae & tertiae semper sint eaedem; erit, vt momenta omnium FH nempe momentum totius rectanguli ABED ad momenta omnium GH nempe momentum figurae BCE, ita circuli omnes ex radiis FH nempe
cylindrus ex rotatione rectanguli ABED circa BE ad circulus omnes ex radiis GH nempe solidum rotundum ortum ex rotatione figurae BCE circa eandem BE, quod demonstrare oportuit.
Eisdem positis quae in antecedente; si solida rotunda orta ex rotatione rectanguli ABED & figurae BCE circa BE secentur per rectam BE plano quod horizonti sit perpendiculare, & semisolida ex recta BE librentur: dico momentum semisolidi ADEB esse ad momentum semisolidi BCE vt omnes cubi ab FH ad omnes cubos a GH: sint semicirculorum FH, GH, centra gravitatis O, P; manifestum est momentum semicirculi FH ad momentum semicirculi GH esse in ratione composita ex ratione semicirculi FH ad semicirculum GH nempe ex duplicata ratione FH ad GH & ex ratione OH ad PH seu FH ad GH; & ideo momentum semicirculi FH est ad momentum semicirculi GH in triplicata ratione FH ad GH, seu vt cubus ab FH ad cubum a GH, cumque hoc semper ita eueniat, & primae & tertiae semper si eaedem; erit vt momenta omnium semicirculorum FH nempe momentum ipsius semisolidi BADE ad momenta omnium semicirculorum GH nempe momentum ipsius semisolidi BCE vt omnes cubi ab FH ad omnes cubos a GH, quo demonstrare oportuit.
Hoc Theorema ab acutissimo Geometra R. P. Stephan de Angelis nuper inventum poterit eodem modo demonstrari de qualibet solidi rotundi parte resecta a duobus planis in solidi rotundi axe se invicem secantibus.
Haec dicta sint de quantitatum curvarum transinutation & mensura in genere; nunc accedamus ad applicationem in casibus particularibus, quae cerrae facilis est, potest enim nullo negotio ab Analysta perfici; sed nos varietati studentes, aliquando pure geometrice, aliquando purem analytice aliquando partim geometrice partim analytice propositum demonstrabimus; hinc enim facile percipiet fagax Lecto quid in omni casu exhibito agendum sit.
Invenire circulum aequalem superficiei conoidis Parabolicae.
Sit conois parabolica genita ex revolutione semiparabolae ABC circa axem AB; cuius superficiei oportet invenire aequalem circulum. Producantur BA in D vt AD sit quanta pars lateris recti, tangatque parabolam in vertice A recta AE aequalis dimidio lateris recti; & axe DB per E ducatur parabola DEK ordinatim apllicatae BC productae occurrent in K: sitque X recta diameter quadrati aequalis segmento parabolico AEKB. dico rectam X esse radium circul aequalis superficiei conoidis parabolicae genitae ex rotatione semiparabolae ACB circa axem AB. ex quolibet puncto curvae parabolicae AC nempe dimittatur in axem ordinatin applicata MG, quae producatur donec exteriorem curvam patabolicam DEK intersecet in N; sitque GH recta aequalis dimidio lateris recti, patet ex multorum demonstrationibus rectam MH tangentem in puncto M normaliter secare. Deinde ex doctrina parabolarum asymptotarum a Gregorio a S. Vincentio & aliis tradita, manifestum est parabolas ABC, DBK, esse asymptotas; & ideo (ex eadem
doctrina) quadratum rectae GN est aequale quadratis rectarum GM, AE, hoc est, quadratis rectarum GM, GH; illis autem quadratis aequale est quadratum rectae MH; rectae igitur HM, GN, sunt aequales: cumque hoc semper fiat in omnibus punctis curvae parabolicae AMC; manifestum est ex huius 3 segmentum parabolicum AEKB esse aequale superficiei trunci super curva AMC sectae a plano per rectam AB transeunte, & in angulo semirecto cum parabola saeu base trunci inclinante; & igitur cum quadratum rectae X sit duplum superficiei trunci, erit X radius circuli aequalis superficiei conoidis a rotatione curvae parabolicae AMC circa axem AB genitae quod demonstrandum erat.
Hinc etiam manifestum est centrum gravitatis superficiei conoidis parabolicae idem esse cum centro aequilibrii segmenti parabolici AENKB in axe AB: est enim segmentum AEKB magnitudine & gravitate analogum cum superficiei trunci ex huius 3, & superficies trunci est magnitudine & gravitate analoga cum superficie conoidis ex huius 24: Sed ex hac ipsa propositione sequitur illa analogia in magnitudine & gravitate, quoniam eadem quae demonstrantur de integris eodem modo demonstrantur de partibus earum proportionalibus v. g. eodem modo demonstrantur sectioner superficiei conoidis parabolicae genitae ex revolutione curvae MC esse aequalem circulo cuius radii quadratum duplum est segmenti GNKB, quo demonstrata est praesens propositio.
Invenire circulum aequalem superficiei spharoidis oblonga.
Sit sphaerois oblonga genita ex revolutione semi ellipseos EFT circa axem longiorem ET; cuius superficiei oportet invenire circulum aequalem. In verticibus T, E, ellipsem tangant rectae TR, ED, aequales semissi lateris recti: deinde centro G, vertice F per puncta D, R, ducatur ellipsis DFR; & segmento elliptico DFRTE fiat aequale quadratum cuis diameter sit X. dico X esse radium circula aequalis superficiei sphaeroidis oblongae propositae. producatur ellipsis DFR, donec axem ET productum intersecet in punctis Z, B; facile patet rectas GZ, FG, esse semiaxes coniugatos B, E, T, Z, ducantur rectae BA, EC, TQ, ZY, omne aequales rectae FG, & iungatur recta ACFQY; ducantur quoque GQ, GR, & GY quae QT fecet in S. ex quolibet semiellipseos datae puncto N in axem ET sit perpendicularis NP, quae producatur vt rectam AY secet in I & rectas GY, GR, GQ, in punctis O, M, L, & ellipsem BFZ in K. sit recta PH aequalis rectae PM, & iungatur HN; manifestum est (ex fran: a schotten commentariis in Cartesium pag: 214)
HN normaliter secare tangentem ellipseos in puncto N. ob ellipsem FRZ & rectangulum ex semiaxibus FGZY, cuius diameter GY, quadratum rectae QT est aequale quadratis rectarum RT, TS; cumque rectae LP, MP, OP, sint in eadem ratione cum rectis QT, RT, ST; erit quadratum rectae LP aequale quadratis rectarum MP, OP; sed quadratum rectae IP aequalis est quadratis rectarum MP, NP, OP, sed quadratum rectae IP aequalis est etiam quadratis rectrarum OP, KP; & proinde quadrata rectarum MP, NP, OP, sunt aequlia quadratis rectarum XP, OP; & aequalia auferendo, quadratum rectae KP aequale est quadratis rectarum MP, NP, seu HP, NP, sed quadratum rectae HN aequale est eisdem quadratis; & ideo rectae HN, KP, sunt aequales; cumque hoc semper fiat in omnibus punctis curvae ellipticae EFT, manifestum est ex huius 3 segmentum ellipticum EDFRT esse aequale superficiei trunci super curvae EFT sectae a plano per rectam ET transeunte, & in angulo semirecto cum base trunci inclinante; & igitur cum quadratum rectae X sit duplum superficiei trunci erit X radius circuli aequalis superficiei sphaeroidis genitae a rotatione curvae EFT circa axem ET, quod demonstrare oportuit.
Hinc etiam patet quod superficies sphaeroidis sit magnitudine & gravitate analoga cum segmento elliptico EDRT, idem enim quod demonstratur de integris, non diffimile methodo demonstratur de partibus earum proportionalibus v. g. eodem modo demonstratur superficies genita ex rotatione curvae FN aequalis circulo cuius radii quadratum duplum est segmenti elliptici FKPG, quo demonstrata est praefens propositio; quod etiam in tribus sequentibus est intelligendum, cum eadem sit ratio huius & illarum, me enim taedet eadem semper repetere.
Invenire circulum aequalem superficiei spharodis latae.
Sit sphaerois lata genita ex rotatione semiellipseos MCR circa axem breuiorem MR, cuius superficiei oportet invenire aequalem circulum. In verticibus M, R, ellipses tangant rectae MA, RD, aequales semissi lateris recti. Deinde centro P, segmento hyperbolico ACDRM fiat aequale quadratum cuius diameter recta X. dico X esse radium circuli aequalis superficiei sphaeroidis latae propofitae. Sit hyperbola asymptota PF rectam DR secans in F, sitque hyperbola tangens in vertice recta BCG, & iungantur rectae PD, PO ex quolibet ellipseos puncto I in axem MR sit perpendicularis IQ, rectas CG, PD, PF, PG, intersecans in punctis H, K, O, L, item hyperbolam intersecans in E. Sit recta QN aequalis rectae QK; manifestum est (ex commentarius Francisco Scotten in Cartefium pag. 214) rectam NI ellipsem tangentem in puncto I normaliter secare. quoniam PF est hyperbola asymptota & CG recta hyperblam tangens in vertice & GR aequalis axis semissi CP; erit quadratum rectae DR aequale quadratis rectarum RF, RG; cumque rectae KQ, OQ, LQ, sint proportionales rectis DR, FR, GR; erit quadratum rectae KQ aequale quadratis rectarum OG, LG, sed quadratum
rectae EQ est aequale quadratis rectarum HQ, OQ, & quadratum rectae HQ aequale est quadratis rectarum IQ, LQ; & ideo quadratum rectae EQ aequale est quadratis rectarum IQ, LQ, OQ, hoc est, quadratis rectarm IQ, KQ, seu IQ, CN, sed quadratum rectae IN aeqale est eisdem quadratis; sunt ergo aequales rectae WQ, IN; cumque hoc semper fiat in omnibus punctis curvae ellipticae MCR, manifestum est ex huius 3 segmentum hyperbolicum ACDRM esse aequale superficiei trunci super curva elliptica MCR sectae a plano per rectae MR transente, & in angulo semirecto cum base trunci inclinante; & igitur cum quadratum rectae X sit duplum superficiei trunci, erit X radius circuli aequalis superficiei sphaerodis latae genitae ex rotatione curvae ellipticae MCR circa ax MR, quod demonstrandum erat.
Invenire circulum aequalem superficiei conoidis hyperbolicae.
Sit conois hyperbolica genita ex revolutione semihyperbolae FST circa axem FS, cuius superficiei oportet invenire aequalem circulum. In vertice F hyperbolam tangat recta FH aequalis semissi lateris recti. Deinde describatur hyperbola transiens punctum H, idem habens centrum nempe D & eundem semiaxem coiugatum nempe DE cum hyperbola propisita FST; sitque hyperbola descripta BHR ordinatim applicatam ST productam secans in R; & segmento hyperbolico FHRS fiat aequale quadratum, cuius diameter X: dico X esse radium circuli aequalis superficiei conoidis hyperbolicae propisitae. Sit hyperbolae propositae asymptota DV, rectam FH productam secans in K, sitque hyperbolae inuentae asymptota DY, FH etiam productam secans in C, & producatur recta DH. Ex quolibet hyperbolae proposita puncto Q axi applicetur ordinatim recta QG, quae producta rectas DH, DV, DY, intersecet in punctis Z, O, L, & hyperbolam inuentam in puncto P; sitque GA aequalis rectae GZ, manifestum est (ex Fran. a Schotten commentatiis in Cartesium pag. 216.) iunctam rectam QA tangentem hyperbolam in puncto Q normaliter secare. Quoniam recta FK hyperbolam tangens in vertice producitur ad eius asymptotam in puncto K, erit FK aequalis eius semiaxi coniugato DE; & ob hyperbolam BHR & eius asymptotam DY, quadratum rectae FC aequale est quadratis rectarum FH, DE, hoc est FH, FK; cumque rectae GZ, GO, GL, sint in eadem ratione cum rectis FH, FK, FC; erit quadratum rectae GP aequale
quadratuis rectarum GO, GZ; sed ob hyperbolam FQT & eius asymptotam DV, quadratum rectae GO, aequale est quadratis rectarum GQ, DE; & ideo quadratum rectae GL aequale quadratis rectarum GZ, GQ, DE; sed quadratum rectae GL aequale est etiam quadratis rectarum GP, DE; & ideo aequalia auferendo, quadratum rectae GP aequale est quadratis rectarum GZ, GQ, hoc est, quadratis rectarum GA, GQ; hic autem quadratis aequale est quadratum rectae AQ, aequale ergo sunt rectae GP, AQ; cumque hoc semper eveniat in omnibus punctis curvae hyperbolicae FQT, manifestum est ex huius 3 segmentum hyperbolicum FHRS aequale esse superficiei trunci super curva hyperbolica FQT sectae a plano per rectam FS transeunte, & in angulo semirecto cum base trunco inclinante; & igitur cum quadratum rectae Z sit duplum superficiei trunci, erit X radius circuli aequalis superficiei conoidis hyperbolicae genitae ex rotatione curvae hyperbolica FQT circa axem FS, quod demonstrandum erat.
Si curva hyperbolicae rotetur circa axem coniugatum; invenire circulum aequale superficiei ab illa curva hyperbolicae rotata genitae.
Sit curva hyperbolica a C, quae rotata circa axem suum coniugatum FZ gignit superficiem; oportet huic superficiei aequalem circulum invenire. Sit curvae hyperbolicae aC centrum Z, vertex a, asymptoton ZD: hyperbolam tangat in vertice a recta aK aequalis semissi lateris recti eiusdem hyperbolae: sit recta HK rectae Za parallella & aequalis, quae producatur indefinite hyperbolam secans in R & euis asymptoton ZD in M; & in illa sumatur recta HV, cuius quadratum aequale sit quadratis rectarum HR, HK: deinde centro Z vertice a sit hyperbola aVA, quae producatur donec rectam FCA parallelam rectae Za intersecet in A; & segmento hyperbolico FAVaZ fiat aequale quadratum, cuius diameter X dico X esse radium circuli quaesiti. Sit hyperbolae inuentae asymptoton ZB rectam HV secans in L, & ex quolibet hyperbolae proposita puncto T in vtrumque axem (si opus est) productum demittantur perpendiculares TI, Taba; sitque curvam hyperbolicam normaliter secans in puncto T, recta Grrr vtrumque axem (si opus est) productum secans in punctis Grrr: producantur (si opus est) rectae Taba, TI, rectam ZKY intersecent in Y & O punctis; manifestum est ex loco citato Francis. a
Schooten rectas abaY, abarrr, esse aequales; est autem, vt abarrr ad abaT seu EO, ita IT seu abaZ ad IG; & ideo ut Yaba ad OE ita Zaba ad IG; sed ut Yaba ad OE ita Zaba ad ZE seu IO; sunt ergo aequales rectae GI, IO. Producatur recta IT vt hyperbolae inventae occurrat in Q & eius asymptoto in P, sitque eius intersectio cum asymptoto hyperbolae propositae punctum N. ex constructione quadratum rectae HV (hoc est quadrata rectarum HL, Za) aequale est quadratis retarum HR, HK, seu quadratis rectarum HM, HK, Za; & ideo idem vtrinque auferendo, relinquitur quadratum rectae HL aequale quadratis rectarum HK, HM: cumque rectae IP, IN, IO, sint in eadem ratione cum rectis HL, HM, HK; erit etiam quadratum rectae IP aequale quadratis rectarum IN, IO; & idem quadratum a vtrinque addendo, erunt quadrata rectarum IP, Za (hoc est quadratum rectae IQ) aequalia quadratis rectarum IO, N, Za, hoc est quadratis rectarum IO, IT seu IG, IT, hoc est quadrato rectae TG; sunt ergo aequales rectae QI, TG; cum que hoc semper eueniat in omnibus punctis curvae hyperbolicae a TC, manifestum est ex huius 3 segmentum hyperbolicum FAaZ aequale esse superficiei trunci super curva hyperbolica TC sectae a plano per rectam FZ transeunte & in angulo semirecto cum base trunci inclinante; & igitur, cum quadratum rectae X sit duplum superficiei trunci, erit X radius circuli aequalis superficiei genitae a rotatione curvae hyperbolicae aTC circa axem coniugatum ZF, quod demonstrandum erat.
Invenire rectam aequalem curu Parabolicae.
Sit curva parabolica GN, verticem habens G & axem GO, cui oportet rectam invenire aequalem. Producatur axis GO in A, vt GA fiat aequalis semissi lateris recti, sitque GK recta parabolam tangens in vertice & NK axi parallellilli occurrens in K: deinde sit recta GD angulum rectum AGK bifariam dividens, fiatque hyperbola AC verticem habens A, centrum G & asymptoton GD; producatur recta MK donec hyperbolam secet in puncto C, sitque AE rectae GK parallella: fiat tandem vt rectangulum AEKG ad segmentum hyperbolicum AGKC, ita recta GK ad rectam X; dico rectam X aequalem esse curvae parabolicae GN. Ex quolibet curvae parabolicae puncto M demittantur in rectas GO, GK perpendiculares ML, MH, sitque recta OI curvam parabolicam normaliter secans in puncto M, & rectis GO, GK, occurrens in punctis O, I. Manifestum est rectam LO aequalem esse semissi lateris recti seu GA: producatur recta MH vt hyperbolam secet in puncto B & asymptoton GD in F; manifestum etiam est ob asymptoton GD quadratum rectae HB aequale esse quadratis rectarum AG, HF, vel ob angulos
aequales HGF, HFG, quadratis rectarum LO, GH, seu LO, LM, sed quadratum rectae OM aequale est quadratis rectarum OL, LM; & ideo rectae OM, HB sunt aequales. Deinde ob similitudinem triangulorum HMI, LOM, est vt HM ad MI ita OL ad OM, seu GA ad HB; cumque hoc semper fiat in omnibus punctis curvae parabolicae GN; erit ex huius 2 rectangulum AEKG ad segmentum hyperbolicum ACKG, vt rectae GK ad curvam parabolicam GN; erat autem vt rectangulum AEKG ad segmentum hyperbolicum ACKG, ita recta GK ad rectam X; & proinde recta X aequalis est curvae GN, quod demonstrare oportuit.
Eodem modo demonstratur rectangulum PEKH esse ad segmentum hyperbolicum BHKC vt recta HK ad curvam MN, & proinde segmentum hyperbolicum ACKG est magnitudine & gravitate analogum cum curva GN, quod etiam ex huius 2 est perspicuum; cumque detur facile truncus inferior cylindrici recti super ACKG ex huius 2I, 35 & 37 dabitur centrum gravitatis segmenti hyperbolici ACKG, & ideo innotescit centrum aequilibrii curvae GN in recta GK: hinc quoque notatu digna est analogia in magnitudine & gravitate, quae contingit inter curvam parabolicam, superficiem sphaeroidis latae & superficiem genitam a rotatione curvae hyperbolicae circa axem suum coniugatum, quae euisdens est ex sola figurarum huius 48, 50, 5I inspectione.
Si curvae parabolicae vertatur circa rectam, eam in vertice tangentem, invenire circulum aequalem superficiei ex tali conuersione genitae.
Sit curvae parabolicae IED, cuius vertex D, rotata circa rectam BD eam in vertice tangentem, ct gignat superficiem rotundam: oportet huic superficiei invenire circulum aequalem. Sit curvae parabolicae latus rectum quadruplum rectae DR, & eius axis DR. Ex puncto I in axem DK sit recta perpendiculares IK, & axe transuerso RD (eui etiam aequalis sit axis coniugatus) fiat hyperbola DGL rectam IK productam secans in L: deinde semi hyperbolae DKL fiat aequale quadratum, cuius diameter X: dico X esse radium circuli quaesiti. Ex quolibet curvae parabolicae puncto E in axem demittatur perpendicularis recta EF, quae producta hyperbolam intersecet in puncto G; sitque parabolam tangens in puncto E recta EA tangenti DB occurrens in C & axi producto in A, sitque CH aequalis
& parallela rectae DF. Manifestum est FA duplam esse rectae DA, & ideo EF est dupla rectae CD, est ergo EH aequalis rectae HF. rectangulum RF in FD est aequale quadrato rectae DF vna cum rectangulo RDF, atque rectangulum RDF aequale est quadrato EH quoniam RD est quarta pars lateris recti; & ideo quadratum rectae CE (quod aequale est quadratis rectarum EH, HC = DF) aequale est rectangulo RF in FD, sed quadratum rectae FG eidem rectangulo est aequale, & proinde rectae EC, FG, inter se sunt aequales, cumque hoc semper fiat, patet ex huius 4 semihyperbolam DKL esse aequalem superficiei trunci super curva parabolica DEI sectae a plano per rectam DB transeunte & in angulo semirecto cum base trunci inclinante; & ideo, cum quadratum rectae X sit duplum superficiei trunci, erit X radius circuli aequalis superficiei genitae a rotatione curvae parabolicae circa rectam DB, quod demonstrandum erat.
Ex hac propositione patet semihyperbolam DKL esse magnitudine & gravitate analogam cum superficiei: ex hac, antecedente & huius 38 non difficile est invenire centrum gravitatis curvae parabolicae vel eius portionis cuiuscunque datae, quod admonuisse sufficiat.
Invenire centrum gravitatis semicylindri recti oblique secti.
Sit circulus BGQG cylindri basis, cuius diameter BQ, sitque recta BA circulum tangens in A semicylindri altitudo aequalis rectae BQ, perinde enim est cum omnes semicylindri super eadem base sint analogi, quae producatur ad pattes B indefinite, sitque ei parallela & indefinite longa, recta PQ; fiant etiam AP, CR, DT, parallelae diametro BQ, & ducatur AQ recta reliquis se habentibus vt in figura. Sit figura CRM talis naturae, vt (ducta recta quacunque EYKM parallela rectae PQ) EY sit ad FY vt GY ad KM: figura CRM est analoga magnitudine & gravitate semicylindro; atque huius figurae seu semicylindri centrum aequilibrii ita invenitur: sint CR, RS, aequales reliquis se habentibus vt in figura, fiat que figura DOT talis naturae, vt (ducta recta quacunque EYKMNO) EY sit ad KL vt KM ad NO; & figurae DOT circumscribatur rectangulum DV: sit deinde vt figura CRM ad figuram DOT ita EY seu RC ad CZ, manifestum est ex huius 37Z esse centrum aequlibrii figurae CMR: figura autem DOT innotescit hoc modo: datur rectangulum DV, quoniam DT est aequalis BQ & DX seu TV est quarta continue proportionalium, quarum prima est EY & secunda dimidia rectae BQ; deinde NO est semper quarta continue proportionalium, quarium prima est EY &
secunda GY, quod sic probo: ex praedictis manifestum suntsequentes analogiae.
EY: FY = QY: : GY: KM EY: KL = BY: : KM: NO EY2: BY x YQ = GY2: :KM x GY: KM x NO
& ideo EY2: GY2: : GY: NO, est igitur GY3 = EY2 x NO; & proinde posita prima & GY secunda, erit NO quarta continue proportionalium, & ideo figura DOT est ad rectangulum DV, vt conois parabolica (cum basis est circulus BGQG) ad cylindricum parabolicum in conoidi circumscriptum, cumque dentur proportio conoidis parabolicae ad cylindricum sibi circumscriptum & rectangulum DV, dabitur quoque figura DOT, & ideo punctum quoque Z; & ideo datur in semicylindri base eius centrum aequilibrii; & proinde ad basem e centro aequilibrii excitata, atque idem gravitatis centrum est in recta Qa ducinter punctum Q & a medium punctum rectae AB ex puncto basi BGQ perpendicularis, supposita nempe cylindrum exsectum a plano baseos planum in recta PQ secante; sit igitur vt RC ad CZ ita Qa ad accc, erit ccc semicylindri centrum gravitatis, quod inveniendum erat.
In huius 62 docebimus aliam methodum inveniendi proportionem inter DV & DOT.
Sit parallelogrammum ABIK, sitque curva ACI talis naturae, vt (ducta recta quacunque DE parallela & aequale rectae AB curvam secante in C) ratio AB ad EC sit mulitplicata rationis AK ad AE in ratione P ad Q. Dico parallelogramum ABIK esse ad figuram ACIK vt P + Q ad Q. Producatur recta IB in G & iungatur curva AHG talis naturae, vt (ducta recta CF tangente curvam ACI in quolibet puncto C & ductis parallelis EC, FH) recta CH sit aequalis & parallela rectae EF: manifestum est ex huius 7 rectam AE ad FP seu LC ad HC esse vt P ad Q, cumque hoc semper fiat, euidens est figuram ACIB esse ad figuram ACIGH vt P ad Q atque ex huius 11 figura ACIGH est aequalis figurae ACIK & ideo figura ACIB est ad figuram ACIK vt P ad Q, & componendo parallelogrammum ABIK est ad figuram ACIK vt P + Q ad Q quod demonstrandum erat.
Si P sit minor quam Q, erit ACIK quaelibet ex parabolis finitis, si vero P sit maior quam Q, erit ACIK quodlibet ex curvilineis infinitis. Ex hac quoque propositione manifestum est parallelogrammum ABIK esse ad figuram ABIC vt P + Q ad P; quod etiam ita innoreseit, quoniam ratio AB ad EC est
multiplicata rationis AK ad AE in ratione P ad Q, hoc est ratio AB ad AL multiplicata rationis BI ad LC in eadem ratione P ad Q, erit conuertendo, BI ad LC multiplicata rationis AB ad AL in ratione Q ad P; & ideo ex ipsa propositione, parallelogrammum ABIK est ad figuram ABIC vt P + Q ad P, quod demonstrandum erat.
Eisdem positis, quae in antecedente: dico rationem figura ACIK ad figuram ACE esse multiplicatam rationis IK a CE in ratione P + Q ad P. Ex antecedente ABIK est ad ACIK vt P + Q ad Q, eodem modo ALCE est ad ACE vt P + Q ad Q & ideo ABIK est ad ACIK vt ALCE ad ACE, & permutando ABIK est ad ALCE vt ACIK ad ACE, at ratio ABIK ad ACE est composita ex ratione AK ad AE & ex ratione IK a CE, & proinde ratio ACIK ad ACE componitur ex eisdem rationibus; at ratio IK ad CE est multiplicata rationis AK a AE in ratione P ad Q, & conuertendo, ratio AK ad AE in multiplicata rationis IK ad CE in ratione Q ad P, & componendo, ratio composita ex rationibus AK ad AE & IK a CE (nempe ratio figurae ACIK ad figuram ACE) est multiplicata rationis IK ad CE in ratione P + Q ad P, quod demonstrare oportuit.
Supposito ABIK rectangulo & reliquis positis vt in antcedente, si super figuris ABIK, ACIK, supponantur cylindrici recti, cuius vtriusque altitudo AB, item supposita cylindricum super ACIK secari a plano ipsi basi ACIK seminormali, & eam secante in recta AK: dico parallelopipedum super ABIK esse ad inferiorem truncum cylndrici super ACIK vt 4P + 2Q ad Q. Supponatur planum secans cylindricum super ACIK produci ut secet etiam parallelopipedum, manifestum est truncum eius inferiorem esse prism triangulare parallelopipedi dimidium. Deinde sit rectangulum AMTK cum inscripta linea ART talis proprietatis, vt (sumpto ad libitum puncto E & ducta recta DEO ipsi AK perpendiculari & lineas AET, ACI, secante in punctis R, C item ducto per puncto E plano ipsi AK normali & inferiores cylindricorum truncos secante in triangulis rectangulis isoscelibus quorum bases sunt DE, CE) OE sit ad RE sicut triangulum super DE ad triangulum super CE. Patet triangulum super DE esse ad triangulum super CE seu OE ad RE in duplicata ratione DE ad CE, atque ratio DE ad CE est mulitplicata rationis AK ad AE in ratione P ad Q; & ideo ratio OE a RE est mulitplicata rationis AK ad AE in ratione 2P ad Q, cumque hoc semper fiat vbicunque sumatur punctum E, patet ex huius 54 rectangulum AMTK esse ad figuram ARTK vt 2P + Q ad Q: at OE semper est ad RE, vt triangulum super DE, nempe communis intersectio plani normalis ad AK cum prismate triangulari, ad triangulum super CE, nempe communem sectionem eiusdem prioris plani cum trunco inferiore cylindrici super ACIK; antecedentes quoque quantitates, nempe omnes rectae OE inter se, & omnia triangula super DE inter se, sunt aequales; & ideo vt omnes rectae OE nempe rectangulum AMTK ad omnes RE nempe figuram ARTK ita omnia triangula super DE nempe prisma triangulare ad omnia triangula super DE nempe prisma triangulare ad omnia triangula super CE nempe inferiorem truncum cylindrici super ACIK; & proinde prisma est ad truncum vt 2P + Q ad Q, & ideo duplum prismatis nempe parallelopipedum super ABIK est ad inferiorem truncum cylindrici recti super ACIK vt 4P = 2Q ad Q, quod demonstrandum erat.
Atque ex huius 54 parallelopipedum super ABIK est ad cylindricum eiusdem altitudinis super ACIK vt P + Q ad Q, hoc est vt 4P + 2Q ad
(equasion here from page 105 last paragraph),& proinde parallelopipedum super ABIK est ad eiusdem cylindrici truncum superiorem vt 4PP + 6PQ + 2QQ ad 3PQ + QQ; atque talis truncus superiore idem est cum trunco eiusdem cylindrici inferiore resecto a plano basem secante seminormaliter in recta BI, & ideo huius quoque trunci ad parallelopipedum patet ratio, nempe vt 3PQ + QQ ad 4PP + 6PQ + 2QQ.
Posito parallelopipedo & cylindrico habere altitudinem AK & reliquis vt in antecedente; si cylindricus rectum super ACIK secetur a plano ad basem seminormali & eam secante in recta AB. Dico parallelopipedum super ABIK esse ad inferiorem truncum cylindrici super ACIK in ratione P + 2Q ad Q. Sit quadratum AMTK cum inscripta linea ART talis naturae, vt (sumpto ad libitum puncto E & ducta recta DEO ipsi AK perpendiculari & lineam ART secante in puncto R, item ducto per punctum E plano ipsi AK normali, cuius intersectio cum trunco inferiore est rectangulum LAEC) AE sit ad RE sicut BA ad CE. Patet ex constructione rationem AE ad RE esse multiplicatam rationis AK ad AE in ratione P ad Q, & componendo, ratio AK ad RE, hoc est ratio KT ad RE, est multiplicata rationis AK ad AE in ratione P + Q ad Q; & ideo quadratum AMTK est ad figuram ARTK vt P + 2Q ad Q, at vt ABIK ad AMTK ita IK vel AN ad TK seu AK, & ideo rectangulum ABIK est ad figuram APTK in ratione composita ex ratione P + 2Q ad Q & ex ratione AB ad AK. Quoniam AE est ad RE vt BA ad CE, erit rectangulum AE in CE nempe AECL aequale rectangulo AB in RE, cumque hoc semper fiat, erit cylindricus super ARTK habens altitudinem AB aequale inferiori trunco cylindrici super ACIK; & ideo parallelopipedum super ABIK cum altitudine AB est ad cylindricum super ARTK seu truncum inferiorem cylindrici super ACIK vt basis ABIK ad basem ARTK, hoc est in ratione composita ex ratione P + 2Q ad Q & ex ratione AB ad AK, at parallelopipedum super ABIK cum altitudine AB est ad parallelopipedum super ABIK cum altitudine AK vt AB ad AK; & proinde parallelopipedum super ABIK cum altitudine AK est truncum inferiorem cylindrici super ACIK vt P + 2Q ad Q, quod demonstrandum erat.
Atque ex huius 54 parallelopipedum super ABIK est ad cylindricum eiusdem altitudinis super ACIK vt P + Q ad Q, hoc est vt P + 2Q ad
(Equation from page 107 top of page);& ideo parallelopipedum super ABIK altitudinis AK est ad truncum superiorem cylindrici super ACIK eiusdem etiam altitudinis AK vt PP + 3PQ + 2QQ ad QQ; atque talis truncus superior idem est cum inferiore eiusdem cylindrici trunco resecto a plano basem seminormaliter secante in recta IK, & ideo eiusdem parallopipedi ad hunc truncum inferiorem eadem est ratio.
Ex huius 29, 56 & 57 manifestum est centrum aequilibrii figurae ACIK ita dividere rectam IK, vt pars versus I sit ad partem versus K in ratione 3P + Q ad P + Q, item centrum aequilibrii eiusdem ACIK ita dividere AK, ut pars versus A sit ad partem versus K in ratione P + Q ad Q.
In duabus praecedentibus, etiamsi facilitatis gratia supponatur ABIK rectangulum, conclusiones tamen non minus verae sunt de parallelogrammo quolibet; nullo enim negotio demonstrantur ex aequalitate & analogia in magnitudine & gravitate truncorum super rectangulis & eorum figuris cum truncis super parallelogrammis quibuscunque & eorum figuris; quod etiam in sequentibus de figuris longitudine infinitis intelligi velim.
Sit AEF angulus rectus sitque curva ADF talis naturae, vt (ducta recta DC ad libitum perpendiculari ad AE) ratio EF ad CD sit multiplicata rationis AE ad AC in ratione numeri imparis cuiuscunque ad numerum proxime minorem; oportet invenire rectam aequalem curvae ADF. v. g. sit ratio EF ad CD multiplicata rationis AE ad AG in ratione 5 ad 4; sitque (opc huius 2) ut recta AE ad curvam AF ita rectangulum ad libitum AGNE ad mixtilineum AGLE, sitque latus rectum (nempe recta ducta in quadratoquadratum rectae CD semper efficiens surdesolidum rectae AC) curvae AF, l;
AG, b; GI, c; IL, d; GH quotlibet aequaliter crescentes a; HO vel CA; z; manifestum est ex huius 7BC esse (equasion pg 108) & CDV qq (equasion) & BD (equasion);
erit igitur BC ad BD ut CK ad CO, hoc est (Equasion)
& ideo
& aequatione reducta inuenitur HO seu (equasion)
& ideo manifestum est analystae trilineum GIL esse compositum ex addictione trilineorum, quadratici, cubici & quadratoquadratici, quorum omnium axes sunt GI, & bases, trilinei quadratici, (equasion), cubici
(equasion) & quadratoquadratici (equasion 109); & proinde trilineum GOLI
est (equasion) + (equasion) & ideo recta AE est ad curvam AF vt bd seu
rectangulum AGNE ad bd + cd(equasion)
seu mixtilineum AGLE, datur igitur rectae aequalis curvae AF, quae inuenienda erat. Quomodo invensatur superficies facta ex rotatione curvae AF circa rectam AG. Euidens est ex huius? 3, quoniam ex huius 57 facile est invenire centrum grativatis mixtilinei AGLE. Quod si in aequatione reducta, ex vna parte inventa fuisset non z sed z2 (quod semper accidit, ? ratio EF ad CD sit multiplicata rationis AE ad AC in ratione numeri paris ad numerum proxime minorem) inuenta fuisset tantum superficies genita ex rotatione curvae AF circa rectam AG, vt patet ex huius 23 & 43.
Sit parallelogrammum ABFE, sitque curva FGH talis naturae, vt (ducta recta quacunque CG parallela rectae AB curvam FH secante in G & rectam BF in D) ratio AB ad CG sit multiplicata rationis BD ad BF in ratione P ad Q. Dico parallelogrammum ABFE esse ad figuram longitudine infinitam HAEFGH vt Q -- P ad Q. Producatur recta BF in M & ducatur curva MKH talis naturae, vt (ducta recta GI tangente curvam FGH in quolibet puncto G & ductis parallelis GC, KI) recta GK sit aequalis & parallela rectae CI: manifestum est ex huius 7 rectam AC ad CI vel LG ad GK esse vt P ad Q, cumque hoc semper fiat, euidens est figuram HFBH esse ad figuram HFMH ut P ad Q, atque ex huius 11 figura HFMH est aequalis figurae HAEFH, & ideo figura HAEFH est ad figuram HFBH vt Q ad P, & per conuertionem rationis, HAEFH est ad parallelogrammum ABFE ut Q ad Q -- P, & conuertendo ut parallelogrammum ABFE ad figuram HAEFH ita Q -- P ad Q, quod demonstrandum erat.
Supposito ABFE rectangulo & reliquis positis sicut antecedente; si super figuris ABFE, HAEFH, supponantur cylindrici recti, cuius prioris altitudo AB, secundo autem altitudo infinita, item supposito cylindricum super HAEFH secari a plano ipsi basi seminormali & eam secan in recta AE: dico parallelopipedum super ABFE esse a inferiorem truncum cylindrici super HAEFH vt 2Q -- 4P ad Q, consideratis considerandis demonstratio non differe ab huius 56.
Eisdem suppositis cylindricis, qui in antecedente; sed cum altitudine BF, & supposito cylindricum super HAEFH secari a plano ipsi basi seminormali & eam secante in recta AH: dico parallelopipedum super ABFE esse ad inferiorem truncum cylindrici super HAEFH in ratione 2Q -- P ad Q. Sit primo P minor quam Q, sitque vt AB ad CG ita BD ad DR protractam versus AE, & compleatur quadratum NBFO ex parte AE, item ex omnibus punctis R imaginetur curva BRO: patet ex constructione rationem BD ad DR esse multiplicatam rationis BD ad BF in ratione P ad Q, & dividendo, ratio DR ad BF, nempe ratio DR ad FO, est multiplicata rationis BD ad BF in ratione Q -- P ad Q, & ideo quadratum NBFO est ad figuram BROF in ratione 2Q -- P ad Q, at vt ABFE ad NBFO ita EF seu AB ad OF seu BF, & ideo rectangulum ABFE est ad figuram BROF in ratione composita ex ratione 2Q -- P ad Q & ex ratione AB ad BF. Quoniam est vt AB ad CG ita BD ad DR, erit rectangulum AB in DR aequale rectangulo BD in CG, at rectangulum AB in DR est communis intersectio cylindrici recti super EROF altitudinem habentis AB cum plano secante super RD ad basem normali, & rectangulum BD in CG est intersectio eiusdem prioris plani producti cum trunco inferiore cylindrici super HAEFH; cumque hae intersectiones semper contingant esse aequales, manifestum est inferiorem truncum cylindrici super HAEFH aequalem esse cylindrico super BROF altitudinem habenti AB; & ideo parallelopipedum super ABFE cum altitudine AB est ad cylindricum super BROF seu truncum inferiorem cylindrici super HAEFH vt basis ABFE ad basem BROF, hoc est in ratione composita ex ratione 2Q -- P ad Q ex ratione AB ad BF, at parallelopipedum super ABFE cum altitudine AB est ad parallelopipedum super eadem ABFE cum altitudine BF vt AB ad BF; & proinde parallelopipedum super ABFE cum altitudine BF est ad inferiorem truncum cylindrici super HAEFH vt 2Q -- P ad Q, quod & Quod si P sit maior quam Q; sit vt AB ad CG ita BD ad CR protractam versus LK, & compleatur quadratum NAE ex parte LK, item ex omnibus punctis R imaginetur curvae ORH: patet ex constructione rationem BD ad CR esse multiplicatam rationis BD ad BF in ratione P ad Q, & sumendo excessum antecedentis supra consequentem ad consequentem, ratio BF ad CR nempe ratio EO ad CR est multiplicata rationis BD ad BF seu AC ad AE in ratione P -- Q ad Q; & ideo quadratum NAEO est ad figuram longitudine infinitam HAEOH vt 2Q -- P ad Q, at vt ABFE ad NAEO ita EF seu AB ad EO seu BF, & ideo rectangulum ABFE est ad figuram HAEOH in ratione composita ex ratione 2Q -- P ad Q, & ex ratione AB ad BF. Quoniam est vt AB ad CG ita BD ad CR, erit rectangulum AB in CR est aequale rectangulo BD in CG, at rectangulum AB in CR est communis intersectio cylindrici recti super HAEOH altitudinem habentis AB cum plano secante super CR ad basem normali, & rectangulum BD in CG est intersectio eiusdem prioris plani cum trunco inferiore cylindrici super HAEFH cumque hae intersectiones semper contingant esse aequales 3 manifestum est inferiorem truncum cylindrici super HAEFH aequalem esse cylindrico super HAEOH altitudinem habenti AB, & ideo parallelopipedum super ABFE cum altitudinem AB est ad cylindricum super HAEOH seu truncum inferiorem cylindrici super HAEFH ut basis ABFE ad basem HAEOH, hoc est in ratione composita ex ratione 2Q -- P ad Q & ex ratione AB ad BF, at parallelopipedum super ABFE cum altitudine AB est ad parallelopipedum super eadem ABFE cum altitudine BF vt AB ad BF; & proinde parallelopipedum super ABFE cum altitudine BF est ad inferiorem truncum cylindrici super HAEFH vt 2Q -- P ad Q, quod demonstrare oportuit.
Ex his & huius 29, 37, non difficile est colligere centrum aequilibrii figurae HAEFH ita affignari in recta AH, nempe AB esse ad distantiam centri aequilibrii a puncto A vt 2Q -- 4P ad Q -- P; item eiusdem figurae centrum aequilibrii ita dividere rectam AE ut pars versus A sit partem versus E in ratione Q -- P ad Q.
Sit quadrans circuli KDOH & recta DA parallela radio HK, sitque curva DEH talis naturae, vt (ducta recta quacunque GI parallela & aequali rectae DK curvam circularem secante in O & curvam DEH in E) ratio GI &
ad EI sit triplicata rationis GI ad OI. Dico quadrantem circuli KDOH esse ad figuram KDEH vt 4 ad 3, hoc est, curvam DEH dividere quadrantem circuli in ratione 3 ad I. Ducatur curva HBD talis naturae, vt (ducta recta EC tangente curvam HED in quolibet puncto E & ductis parallelis EF, BC) recta EB sit aequalis & parallela rectae CF: manifestum est ex huius 7 rectam CF eu BE esse triplam rectae EO, cumque hoc semper fiat evidens est figuram HBDE esse triplam figurae HODE, atque ex huius II figura HBDE est aequalis figura HEDK; & proinde figura HEDK est ad figuram HODE in ratione 3 ad I dividit ergo curva HED quadrantem circuli in ratione 3 ad I, quod demonstrare oportuit.
Quod si ratio GI ad EI esset quintuplicata rationis GI ad OI, curva HED quadrantem circuli divideret in ratione 5 AD 3; si autem septuplicata, in ratione 7 ad 5; & sic in genere, si ratio GI ad EI sit multiplicata rationis GI ad OI in ratione cuiuscunque numeri imparis ad vnitatem, curva HED dividet quadrantem circuli in ratione eiusdem numeri imparis ad numerum imparem proxime minorem, quae omni demonstrantur sicut hoc theorema. Eodem prorsus modo demonstratur nom solum illa Vallisij interpositio qua spatium ciffoidale mensurat in libro de cylcoide, sed etiam omne fortaffis aliae quae imaginari possunt, supposita primae interpositae figurae mensura. Quod si ratio GI ad EI sit multiplicata rationis GI ad OI in ratione numeri cuiuscunque pari ad vnitatem, facile daretur figurae KHED quadratura op huius 54, ut docet Vallisius in sua Arithmetica infinitorum & ideo innotescit in recta DK centrum aequilibrii figura DEHK ope huius 37. Hinc etiam evidens est DEF eandem semper habere rationem ad DEO quam habet DEHK a DEHO, quod summopere notandum, nam (praeter multo alia pulcherrima problemata) si secetur conois parabolic plano ad axem parallelo, ex data eiusdem ab axe distantia dabitur huius ope utrumlibet conoidis segmentum.
Sit curvae cycloidis praimariae semissis CBA; eius basis CG, circulus genitor AEG basem tangens in puncto G a diametro GA. Dico curvam CBA duplam esse rectae AG. Sit AILG quadratum, sitque figura NAGLN talis naturae, vt (ducta recta quacunque FM parallela rectae AI) ratio AI vel AG ad FM sit subduplicata rationis AF ad AG: manifestum est ex huius 59 figuram
infinitam NAGLN esse duplam quadrati AILG. Per F diametri AG punctum quodlibet ducatur BM rectae AI parallela, cycloidi & curvae LN occurrens in punctis B, M, secans circulum & rectam IL vt in figura; iungantur rectae AE, EG, & illis parallelae DB, BH: ex huius 8 patet BD tangere cycloidem in puncto B & BH contingenti esse perpendicularem. Ut BF ad BH ita EF ad EG seu FA ad AE, atque ratio AF ad AG est duplicata rationis AF ad AE, & ideo ratio AF ad AG est duplicata rationis BF ad BH, sed ratio AF ad AG est etiam duplicata rationis AG ad FM, & ideo ut BF ad BH ita AG vel FK ad FM, cumque semper ita sit, patet ex huius a rectam AG esse ad curvam ABC in ratione subdupla, nempe vt quadratum AILG ad figuran NAGLN, quod demonstrare oportuit.
Sit circuli sector CAB includens spiralem AEC talis naturae, vt (ducta recta quacunque AE producta arcum secante in D) ratio AC ad AE sit multiplicata rationis CB ad DB in ratione P ad Q. Sit angulus rectus FIK & curva FHK talis naturae, vt (ducta recta quacunque GH parallela rectae IK) ratio IK ad GH sit multiplicata rationis FI ad FG in ratione P ad Q; patet ex
huius I4 rectangulum FNKI figurae FIK circumscriptum esse ad figuram FHKI vt arcus BC ad axem figurae spiralis AEC evolutae, & proinde ex huius 54 arcus BC est ad axem figurae AEC evolutae ut P + Q ad Q. Sit vt P + Q ad Q ita arcus BC ad rectam FI, ciu sit normalis recta IK aequalis rectae AC, sitque figura FHKI talis naturae, vt (ducta recta quacunque GH parallela rectae IK) ratio IK ad GH sit multiplicata rationis FI ad FG in ratione P ad P + Q: dico figuram FHKI esse spatium spirale AEC evolutum. Ex rectae FI quolibet puncto G sit rectae FI normalis GH occurrens curvae FHK in H, sitque rectae GH aequalis AE producta in D. Arcus BC est ad axem figurae AEC evoluta: nempe FI vt P + Q ad Q; eodemq; modo arcus IL est ad axem figurae EL evolutae ut P + Q ad Q; & ideo vt arcus BC ad rectam FI ita arcus LE ad axem figurae AE evolutae, & permutando, vt arcus BC ad arcum LE ita recta FI ad axem figurae AE evolutae, at ratio arcus BC ad arcum LE est composita ex ratione arcus BC ad BD & ex ratione arcus BD ad arcum LE seu rectae CA ad rectam EA, & ideo recta FI est ad axem figurae AE evolutae in ratione composita ex ratione arcus BC ad arcum BD & ex ratione rectae CA ad rectam EA; sed ratio CA ad EA est multiplicata rationis BC ad BD in ratione P ad Q, & conuertendo, componendo, & rursus conuertendo, ratio AC ad AE seu IK ad GH est multiplicata illius rationis (quae componitur ex ratione arcus BC ad arcum BD & ex ratione rectae CA ad rectam EA) nempe rationis rectae FI ad axem figurae AE evolutae in ratione P ad P + Q, sed ratio IK ad GH est multiplicata rationis FI ad FG in ratione P ad P + Q; & proinde FG est axis figurae AE evolutae, suntque EA, GH, aequales; & ideo (cum hoc semper fiat) manifestum est ex huius I4 & eius consectario figuram FHKI esse figuram AEC evolutam, quod demonstrandum erat.
Figura FHKI est illa descripta in huius 54, cumque poterit inveniri recta illam tangens in puncto data ope huius 7, poterit quoque (ex consectario huius I8) recta duci spiralem AEC tangens in puncto dato: saepissime etiam (vt patet ex huius 58) invenitur recta aequalis curvae FHK, quae etiam aequalis est spirali curvae AEC.
Ope huius I5 vel I6 nullo negotio probatur sectorem BAC esse ad spatium spirale AEC ut 2P + Q ad Q.
Sit circuli sector CAB includens spiralem AEC talis naturae, vt (ducta recta quacunque AE producta arcum secante in D) ratio DE ad BA sit multiplicata rationis CD ad CB in ratione P ad Q. Sit FN aequalis rectae BA, item angulo rectus FNK & curva FK talis naturae, vt (ducta rectae quacunque HM parallela rectae FN) ratio HM ad FN sit multiplicata rationis KM ad KN in ratione P ad Q. Compleatur rectangulum FNKI producaturque MH in G; & ducatur recta DA, ita vt DE sit aequalis recta HM, & ideo EA aequalis erit recta GH. Ratio DE ad BA seu HM ad FN est multiplicata rationis CD ad CB in ratione P ad Q, atque ratio HM ad FN est multiplicata rationis KM ad KN seu IG ad IF in eadem ratione P ad Q; & ideo ut CD ad CB ita IG ad IF, estque vt IK a GH ita AC ad AE, & ideo (ex huius I4) vt rectangulum FK ad figuram FHKI, hoc est (ex huius 54) ut P + Q ad P ita arcus BC ad axem figurae AEC evolutae, qui sit FI reliquii manentibus ut prius, sitq; curva FTK talis naturae, vt (ducta recta quacunq; STH parallela recta FI) IF sit ad ST ut figura FHKI ad figuram FHG. Dico figuram FTKI esse spatium spirale AEC evolutum. Manifestum est constructione rectam FI esse axem figurae AEC evolutae; eodemque modo (vt prius ostensum est) demonstratur rectangulum FH esse ad figuram inscriptam FHG ut arcus LE ad axem figurae AI evolutae. Ratio FI seu axis figurae AEC evolutae ad axem figurae AE evolutae est composita, ex ratione rectae FI ad arcum BC seu figurae FHKI ad rectangulum ANKI, ex ratione arcus BC ad arcum BD seu rectae IF ad rectam FG (quod sic probo, vt CD ad CB ita IG ad IF, & dividendo, & conuertendo, vt CB ad BD ita IF ad FG) seu rectanguli FNKI ad rectangulum FNMG, ex ratione arcus BD ad arcum LE seu rectae DA ad rectam EA nempe rectae GM seu rectanguli FNMG ad rectangulum FSHG, & ex ratione arcus EL ad axem figurae AE evolutae seu rectanguli FSHG ad figuram FHG; at patet rationem figurae FHKI ad figuram FHG componi ex eisdem rationibus, & ideo vt FI ad axem figurae AE evolutae ita figura FHKI ad figuram FHG, hoc est vt FI ad ST vel FV, est igitur FV axis figurae AE evolutae, cumque ordinatim applicata VT sit aequalis rectae AE, & hoc semper fiat vbicumque sumatur punctum E, manifestum est (ex consectario I4 huius) figuram FTKI esse spatium spirale AEC evolutum, quod demonstrare oportuit.
Ope huius 7 potest duci tangens ad curvam FTK, cum sit e numero earum quas Cartesius appellat geometricas, & proinde potest per huius 2. Comparari cum suo axe vel base, cui si reperiatur recta aequalis, erit eadem recta aequalis curvae AEC; vt cunque potest semper duci recta tangens curvam AEC in puncto dato ope consectarii huius I8.
Ex huius I5 & 57 nullo negotio invenitur sectorem BAC esse ad spatium spirale AEC ut (equasion).
Supposito telluris motu, linea desctipta a gravi descendente versus centrum terrae A esset CEA, si modo ratio P ad Q sit dupla; de qua magna orta est controversia inter celeberrimos Mathematicos R R. P P. Stephanum de Angelis & Ioan. Baptistam Ricciolium, quae fortasse dirimetur, si consideret doctissimus Ricciolius vires impulsuum esse in directa proportione cum velocitatibus, quibus appropinquat corpus mobile ad corpus resistens, abstrahendo ab omni alio motu; mihi enim nihil apparet evidentius; neque vllus est architecturae militaris peritus, qui praecedens axioma non supponit in tractando de tormentis bellicis. Quod ad controversiae partem pure geometricam, existimo nullum nunc dubitare, quod graue cadens in centrum terrae tempore sex horarum semper sit extra semicirculum. Evidens est calculum R. P. Stephani de Angelis (dialogo primo pag. 19.) esse legitimum; demonstratio autem D. Manfredi (qua contrarium ostendere conatur pag 17.) in hoc est erronea, quod tacite supponat (ponendo CHA semicirculum) grauis descensum ad centrum terrae durare sex horas; nam centrum attingit (supponendo Riccioli observationes & terrae semidiametrum pedum 25870000) tempore minutorum 21 secundorum 53; neque in his vllius est momenti siue motu siant ab intrinseco vel extrinseco, geometria enim & statice abstrahunt ab omni causa physica, quippe incerta & no evidente.
Sit circuli sector LRM, eodemque centro arcus NT similis arcui LM, sitque spiralis NOM talis naturae, vt (ducta recta quacunque RSOK) ratio rectae SO ad rectam TM sit multiplicata rationis arcus LK ad arcum LM in ratione P ad Q. Sit BC aequalis rectae MT, BH ad libitum, item angulus rectus CBH, & curva BVI talis naturae, vt (ducta recta quacunque EV parallela rectae BC) ratio EV ad BC sit multiplicata rationis BE ad BH in ratione P ad Q: compleatur rectangulum BCIH, & sit rectangulum ABHG cuius latus AB aequale rectae TR: ex huius 54 patet rectangulum BCIH esse ad figuram BVIH vt P + Q ad Q; ducatur recta DEVF, ita vt EV sit aequalis rectae OS, & ideo RO est aequalis rectae DV ratio EV ad HI seu OS ad MT est multiplicata rationis BE ad BH in ratione P ad Q, sed ratio OS ad TM est multiplicata rationis LK ad LM in eadem ratione P ad Q, & ideo vt BE ad BH ita LK ad LM, & ut DV ad GI ita RO ad RM, & ideo ex huius 14, ut ACIG ad ABVIG ita arcus LM ad axem figurae MONR evolutae: sit vt ACIG ad ABVIG ita arcus LM ad rectam BH reliquis in figura ACIG se habentibus ut prius; sitque curva BZI talis naturae, ut (ducta recta ad libitum XZV parallela rectae BH) figura ABVIG sit ad figuram ABVD vt recta BH ad rectam XZ vel A8. Dico figuram ABZIG esse spatium spirale RNOM evolutum. Manifestum est ex constructione rectam AG esse axem figurae RNOM evolutae; eodemque modo (ut prius ostensum est) demonstratur rectangulum AV esse ad figuram ABVD ut arcus 4O ad axem figurae RNO evolutae. Ratio AG seu axis figurae RNOM evolutae ad axem figurae RNO evolutae est composita, ex ratione axis figurae RNOM evolutae ad arcum LM seu figurae ABVIG ad rectangulum ACIG, ex ratione arcus LM ad arcum LK seu rectae IC ad rectam CF vel rectanguli ACIG ad rectangulum ACFD, ex ratione arcus LK ad arcum 4O seu rectae KR ad rectam OR nempe DF ad DV vel rectanguli ACFD ad rectangulum AXVD, & ex ratione arcus 4O ad axem figurae RNO evolutae seu rectanguli AXVD ad figuram
ABVD; at perspicuum est ratione figurae ABVIG ad figuram ABVD componi ex eisdem rationibus, & ideo ut figura ABVIG ad figuram ABVD seu vt AG ad A8 ita AG axis figurae RNOM evolutae ad axem figurae RNO evolutae, qui igitur est A8; cumque ordinatim applicata 8Z sit aequalis rectae OR, & hoc semper fiat vbicunque sumatur punctum O, manifestum est (ex Consectario 14 huius figuram ABZIG esse figuram RNOM evolutam, quod demonstrare oportuit.
Curva BZI est ex earum numero quas Cartesius appellat geometricas, & igitur per huius 7 potest duci recta eam tangens in puncto dato, potest quoque comparari cum recta ope huius 2, & proinde curva quoque NOM illi aequalis, eique duci tangens in punto dato.
Ex huius 15 & 56 non difficile erit demonstrare (posita ratione HI ad HG vt P ad Y) sectorem RLM esse ad figuram RNOM vt P ad (Equasion)
Notandum demonstrationem 65 & 66 huius esse maxime vniuersalem, sed praelo currente non memini illam debito loco inferere.
Hic examinauimus tria spiralium genera; quorum primum idem est cum illis duobus, quae mensuravit R. P. Stephanus de Angelis in libro suo de Spiralibus & in fine lib. 5. de parabolis; secundum quoque idem est cum illis duobus, quae dimensus est in libro de Spiralibus inuersis; tertium etiam excogitauit idem Mathematicus fagacissimus, illudque mihi nuper communicauit.
Summopere notandum omnem figuram posse concipi sicut involutam, & methodo nostra invenietur eadem evoluta; hinc enim non parum augmentetur geometria.
Adeo fertilis est haec nostra methodus, vt difficule fere sit aliquid proponere illi omnino impervium; quod ut experiamur, soluantur duo illa problemata quae proposuit Renatus Franciscus Slusius in prop. 8 de infinitis hypebolis R. P. Stephani de Angelis. Sit AB, b; BD a; sitque secundum tenorem quaestionis, vt b(squared) ad ba - a(squared) ita a (squared) ad (fraction)
quadratum rectae DC, & ideo (ex huius 54) summa omnium quadratorum ab infinitis DC erit (fraction), at summa totidem quadratorum rectae AB est
(squared figure); cum itaque hae quadratorum summae sint duplae truncorum inferiorum, qui secantur in cylindricis rectis super ACB, AEFB, a plano basi seminormali, erit (ex huius 23) ut (squared) ad (fraction) nempe
vt 20 ad I, ita cylindrus ex rotatione AEFB circa AB ad solidum rotundum ex rotatione ACB circa eandem AB. Sit secundum propositum vt in eiusdem de infinitis hyperbolis prop. 10. sitque ratio AB ad BD multiplicata rationis AD ad DC in ratione P ad Q sitque ratio AB ad BD multiplicata rationis EA ad DO in ratione P ad Q, manifestum est EOB esse curvam in huius 54 descriptam; & ideo cubus ex latere EA vel AB est ad inferiorem truncum cylindrici recti super EOBA resecti a plano basem seminormaliter secante in recta EA ut P(squared) + 3PQ + 2Q(squared) ad Q(squared); est autem vt EA ad DO ita ex positione AD vel KH ad DC; & ideo rectangulum EA in DC aequale est rectangulo DO in KH, cumque hoc semper fiat, maniefestum est cylindricum super ACB (cuius altitudo EA) aequalem esse trunco inferiori cylindrici recti super EOBA resecti a plano basem seminormaliter secante in recta EA, & ideo vt P(squared) + 3PQ + 2Q(squared) ad Q(squared); ita EABF ad ACB.
Haec problemata particularia a me selecta sunt tanquam difficiliora & maioris momenti inter geometrarum inuenta, vltra quaedam a me nunc primum soluta; totus namque archimedis tractatus de sphaera & cylindro facile demonstratur ex huius 3 ad modum huius 46 & aliquot sequentium; liber de conoidus sphaeroidibus & tota Lucae Valerii doctrina ex huius 21; tota Guldini, Ioannis de laFaille & Andreae Tacquet doctrina ex huius 35 & aliquot sequentium: fateor tamen me nullo modo potuisse invenire rationem inter curvam ellipticam vel hyperbolicam & rectam, etiam si in hoc tractatulo multi diversi sint modi ellas examinandi; ita ut facile credam hanc rationem esse non Analyticam & vno gradu esse superiorem illa inter circulum & diametri quadratum, sed hoc demonstratu non est adeo facile. Non praetendo hanc methodum inferuire resolutioni omnium probematum irregularium, quae infinita sunt numero & difficultate, qualia praesertim sunt illa de corporum & superficierum sectione irregulari a planis, vel aliis superficiebus, inter quae tamen sequens exhibeo satis pulchrum, placet enim miscellanea quaedam non prorsus inutilia hic adiungere.
Sit conus rectus AFO, cuius axis AM, qui secetur a duobus planis AML, AMG, quorum intersectiones cum coni superficie sint rectae AL, AG; seceturque adhuc idem conus AFO a plano vtcunq; efficiente cum superficie coni communem sectionem GEBIL curvam; ita vt ab his sectionibus ex
cavetur a cono pyramis quaedem conica ALMGEBI cuius vertex A & basis figura BILMGEB contenta a tribus planis ALM, AMG, MGEBIL, & superficie conica AGEBIL; ex axis puncto M trium planorum communi sectione in latus coni AF sit perpendicularis recta MF. Dico pyramidem (cuius basis est planum aequale superficiei conicae AGEBIL & altitudo MF) aequalem esse pyramidi conicae ALMGEBI. Si dictae pyramides non sint aequales, sit earum differentia a: & pyramidiconicae inscribatur pyramis AMGEBIL constans ex pyramidibus triangularibus MGEA, MEBA, MBIA, MILA; eidem quoque pyramidi conicae circumscribatur alia pyramis constans ex pyramidibus triangularibus MHDA, MDCA, MCKA, ita vt differentia pyramidis inscriptae & circumscriptae sit minor quam a. Manifestum est pyramidis MHDA altitudinem esse MF, ex suppositione enim triangulum HDA conum tangit, & ideo normaliter ex M ad HDA in rectam contactus seu latus coni normaliter cadit: eodem modo probatur MF esse altitudinem, ex vertice M, omnium reliquarum pyramidum triangularium, e quibus constatur pyramis cicumscripta, & ideo pyramis, cuius basis aequalis est omnibus triangulis AHD, ADC, ACK, & altitudo MF, aequalis est pyramidi circumscriptae, & proinde maior pyramide conica, sed maior etiam est pyramide cuius basis est planum aequale superficiei conicae AGEBIL & altitudo MF, quoniam eandem cum illa habens altitudinem, basem habet maiorem, quippe illi (dum conuexa existit) circumscriptam. Deinde pyramis triangularis MGEA (posita vertice M) miaorem habet altitudinem quam MF, quoniam eius basis cadit intra superficiem coni, eodem modo omnes pyramides triangulares pyramidem inscriptam componentes minorem habent altitudinem quam MF, & ideo pyramis (cuius altitudo MF & basis aequalis basibus omnium pyramidum triangularium pyramidem inscriptam componentium) maior est pyramide inscripta, sed haec pyramis minor est pyramide basem habente planum aequale superficiei conicae AGEBIL & altitudinem MF, quoniam eandem habens altitudinem basem habet minorem, nempe illi dum conuexa existit inscriptam, & ideo pyramis inscripta multo minor est eadem pyramide basem habente planum aequale superficiei coni AGEBIL & altitudinem MF, sed pyramis inscripta etiam minor est pyramide conica; pyramis igitur inscripta minor est pyramide conica & minor etiam pyramide conicam superficiem basem habente, pyramis vero circumscripta utrum vis harum pyramidum demonstrata est maior, & ideo maior est differentia inter pyramidem circumscriptam & insciptam quam inter pyramidem conicam & pyramidem quae superficiem circumscriptam & inscriptam est minor quam a, & proinde differentia inter pyramidem conicam & pyramidem (quae superficiem conicam pro base habet) est multo minor quam a, quod est absurdum, ponitur enim a differentia in dictas pyramides; non ergo differunt pyramis conica AMEBIL & pyramis cuius basis est superficies plana aequalis conicae superficiei AGEBIL & altitudo recta MF, & ideo aequales sunt quod demonstrandum erat.
Ex vertice coni A in basem pyramidis conicae MGEBIL (si opus est) productam demittatur perpendicularis recta AN; manifestum est ex hoc Theoremate MF esse ad AN vt basis pyramidis conica MGEBIL ad superficiei conicae portionem AGEBIL.
Si in rectilineo quocunque aequilatero assignetur punctum, & ab puncto in omnia rectilinei latera demittantur perpendicula rectae; erit rectangulum ex semisse summae perpendicularium & perimetro rectilinei ad rectilineum, vt numerus laterum rectilinei ad vnitatem.
Sit rectilineum aequalaterum ABCDE: a puncto O in rectilineum demittantur in omnia rectilinei latera perpendiculares rectae OR, OS, OT, OQ, OP. Dico rectangulum ex semissae summae perpendicularium & ambitu rectilinei esse ad rectilineum vt numerus laterum ad vnitatem. Ex puncto O dividatur rectilineum in triangula AOB, BOC, COD, DOE, EOA, quorum triangulorum bases ex suppositione sint inter se aequales. Triangulum AOB est aequale rectangulo ex semisse perpendicularis OR & base AB, cumque omnia rectilinei latera sint aequalia rectae AB, erit rectangulum ex semisse perpendicularis OR & ambitu rectilinei ad rectangulum ex semisse perpendicularis OR & recta AB seu triangulum AOB, vt numerus laterum rectilinei ad vnitatem, eodem modo in quolibet ex reliquis triangulis vt rectangulum ex semisse perpendicularis ex trianguli vertice O in basem demissae & ambitu rectilinei ad idem triangulum, ita numerus
laterum rectilinei ad vnitatem; cumque omnia triangula simul sint aequalia ipsi rectilineo, & omnia dicta rectangula sint aequalia rectangulo ex semisse summae perpendicularium & ambitu rectilinei; erit vt vna antecedentium nempe numerus laterum ad vnam consequentium nempe vnitatem, ita omnes antecedentes nempe rectangulum ex semisse summae perpendicularium & ambitu rectilinei ad omnes consequentes nempe ipsum rectilineum, quod demonstrare oportuit.
Hinc sequitur (si in rectilineo aequilatero quocunque assignentur duo puncta & ab eisdem ad omnia rectilinei latera ducantur perpendiculares) perpendiculares ab vno puncto demissas aequales esse perpendicularibus ex altero puncto demissis.
Si circuli circumferentia dividatur in partes quotcunque aequales & numero impares, & a quolibet peripheriae puncto ad omnes eiusdem divisiones recta ducantur: si circulus dividatur in tres partes aequales, erit summa primarum aequalis vltimae; si in quinquae erit summa primarum & ultima aequalis summa secundarum si in septem, erit summae primarum & tertiarum aequalis summae secundarum & ultimae: si in nouem, erit summa primarum tertiarum & ultimae aequalis summae secundarum & quartarum; atque ita deinceps in infinitum.
Dicimus autem rectas primas esse illas, quae ducuntur ad divisionem ex utraque parte puncto assignato proximas; secundas, illas rectae quae ducuntur ad divisiones primis ex utraque parte succedentes tertias, quae secundis succedunt, & c; rectam vero ultimaem, illam quae ducitur ad divisionem a puncto assignato remotissimam.
Sit circuli circumferentia ABCDE divisa in partes quotcunque aequales in punctis A, B, C, D, E, sitq; O quodlibet punctum in circumferentia; a quo ad omnes divisiones ducantur rectae OA, OE, OB, OD, OC: dico summae primarum & vltimae nempe OA + OE + OC esse aequalem summae secundarum nempe OB + OD. Ex puncto O ducatur circuli diameter OF, & per punctum F ducantur rectis OA, OB, OC, OD, OE, parallelae QFP, FTV, RFS, FXY, MFN, & quoniam rectae OA, OB, OC, OD, OE, efficiunt inter se angulos aequales, igitur rectae QFP, FTV, RFS, FXY, MFN, efficiunt inter se
etiam angulos aequales: centro igitur F describatur polygonum aequilaterum & aequiangulum GHIKL, cuius latera bifariam & ad angulos rectos secentur a rectis per F ductis; & proinde eadem latera normaliter secentur a rectis per O ductis, prioribus quippe parallelis, & ideo rectae FP, FS, FN, FV, FY, sunt aequales rectis O2, OZ, O5, O4, O3, ex antecendente; atque recta O2 superat rectam FP excessu AO, & recta O5 superat rectam FN excessu OE, & recta OZ superat rectam FS excessu CO; igitur rectae O2 + O5 + OZ superant rectas FP + FN + FS excessu AO + OE + OC: recta quoque FY superat rectam O3 excessu OD, & recta FV superat rectam O4 excessu OB; & ideo FY + FV superat O3 + O4 excessu OD + OB; cumque in serie quantitatum O2 + O5 + OZ, FP + FN + FS, FY + FV, O3 + O4, summa extremorum O2 + O5 + OZ + O3 + O4 sit aequalis summae mediorum FP + FN + FS + FY + FV; erit differentia inter primam & secundam nempe OA + OE + OC aequalis differentiae inter tertiam & quartam nimirum OB + OD, quod demonstrandum erat.
Si circularus parabolam in pluribus punctis secuerit, e quibus in axem ex vtraque parte recta perpendiculares demittantur; erit ea ab vna parte axis aequalis illis ab altera parte: quod si ab utraque parte in duobus punctis illam secet; erit similiter duae ab vna parte simul aequales duabus ab altera parte simul.
Sit parabola PABCG quam secet circulus in punctis P, A, B, C, quorum nullum est parabolae vertex. A punctis P, A, B, C, demittantur in axem eidem ordinatim applicatae AH, BX, MC, PN: dico ordinatim applicatas ex vna parte axis nempe AH, PN, aequales esse ordinatim applicatis ex altera parte axis nimirum rectis BX, CM. Producantur rectae PA, BC, donec concurrant in D; eritque rectangulum BDC aequale rectangulo ADP, & igitur rectae parabolam PABCG tangentes parallelae rectis DC, DP, aequales erunt, quae igiur se mutuo intersecent in parabolae axe, facientes cum eidem ordinatim applicatis triangula isoscelia; & igitur DP, DC, illis parallelae faciunt cum eisdem ordinatim applicatis triangula isoscelia nempe DLB, DGP; anguli ergo DBL, DPZ, sunt aequales, sed & anguli ABD, DPC, sunt aequales, & ideo anguli ABO, CPZ, sunt aequales, triangula igitur rectangula AOB, CZP, sunt similia, & proinde
OB: OA: : PZ: ZC OB: OA: : R: SO Sit R latus rectum parabolae PZ: ZC: : R: SO PZ: ZC: : R: ZG R: SO: : R: ZG
Sunt igitur aequales SO, ZG, & proinde eadem est differentia inter AH primam & BX seu SX secundam, quae inter CM tertiam & PN seu GN quartam; & ideo summa primae & quartae AH + PN est aequalis summae secundae & tertiae BX + MC, quod demonstrandum erat.
Alii sunt huius theorematis casus, sed in reliquis nulla restat difficultas, modo hic intelligatur.
Hoc theorema inscruit cognitioni aequationis cubicae & quadratoquadraticae, praecedens autem aequationibus amphibologiis, & sinuum compositioni; qui autem desiderat plenam analyseos & aequationum doctrinam, expectet absolutissimum D. Caroli Renaldinii opus de Resolutione & Compositione Mathematica, quod nunc est sub praelo.
Hucusque continua vimus speculationes pure geometricas; vt autem videant philosophi geometriam non esse adeo abstractam & inutilem sicut vulgo existimatur, sttatuimus difficulates quasdam phsiycomathematicas ex principiis opticis geometrice enodare.